与大数学家一席谈 之 (Arnol'd 访问记)
Vladimir Igorevich Arnol'd 访问记
Smilka Zdravkovska*
1987年6月12日是Vladimir Igorevich Arnol'd的50岁生日。他在19岁的时候，就因证明每一个三个变量的连续函数都可表为几个两个变量的连续函数的叠加，而一举成名。这个结果完成了（由他的导师A. N. Kolmogorov开创的）Hilbert第十三个问题的最直截了当的解释的证明）人们相信这个问题的逆也是对的）。Arnol'd 1959年毕业于莫斯科国立大学的数学力学系。在1961年，他因叠加方面的工作而获得副博士学位（这相当于美国的哲学博士学位）。他在这方面的工作也使他赢得了莫斯科数学学会颁发的青年数学家奖。
Arnol'd是KAM（Kolmogorov-Arnol'd-Moser）理论的创立者之一。例如，根据近个理论，在Hamilton系统的小扰动之下，大多数不变环面都不会消失，而只会发生轻微的形变。这个理论在数学以外，例如在天体力学中和在等离子储备系统（plasmaholding system）里磁力线的特性的研究中，找到了大量的应用。他由于扰动理论方面的工作而在1963年获得科学博士学位，并在1965年与Kolmogorov联袂获苏联最高荣誉奖----列宁奖。
Arnol'd还找到了一种研究理想气体的流体动力学的新方法，那就是把理想气体的Euler方程，看作是保体积的微分同胚组成的无穷维Lie群上测地线的方程。他证明了这个群在许多方向上的截面曲率都是负的。这种负曲率的存在，是这种流体运动具有不可预测性的原因。
Arnol'd还是焦散面（caustics）和波阵面（wave fronts）的奇点与变态的理论的创立者。这个理论的基础，就是Arnol'd发现的。这些对象与正多面体的几何和晶体的对称群之间有联系。这个理论最重要的结果就是他的光滑函致的临界点的分类。
实代数几何最近10年来的迅猛发展，也始於Arno1'd 1971年的一篇专论实代数曲线的卵形线的位置的文章。他的这篇文章把实代数几何与现代拓朴学联系了起来。
Arnol'd发现的Poincare大定理的高维推广，在辛几何和变分法中引起了反响。
Vladimir Igorevich还撰著了许多本书，其中有两本著名的教科书，一本是关于常徽分方程的，另一本是关于经典力学中的数学方法的。他创造活动的大部份是由他与其学生们的合作组成的。他担任莫斯科数学学会的副主席约有20年了。在1984年，他当选为苏联科学院的通讯院土。从1965年起，他就一直是Stekolv数学研究所的研究员和莫斯科国立大学的教授。此外，他还是许多数学刊物的编辑委员会的成员。在1982年，他与L.Nirenberg一起，获得了由瑞典科学院颁发的第一届国际Craford奖*，关于这个奖，请看《自然》（Nature，288卷第6期，November 1980，7页）杂志上题为《填补Nobel奖的空白》
（Plugging Nobel Gap）的文章；关于Arnol'd获得此奖的报导，请看《自然》（第10期，1982，107-108页）上的文章。他还被邀请在两届国际数学家大会上作全会报告。他是巴黎大学的荣誉博士（1974年），也是美国国家科学院（1983年）、法国科学院（1984年）和美国文理科学院（American
Academy of Arts and Scieiices）等的外籍院士（1987年）。
最后，他还因其几乎天天必有的，马拉松式的垂钓、骑车、游泳或滑雪旅行而闻名。
下文是1987年4月的一天我与他谈话的摘录。我们是用俄语交谈的；我将它译成了英文。
问：作为导师，Kolmogorov的形象怎样？
答：A. Einstein在他的自传中说：“现代教学方法没有完全扼杀神圣的好奇心，就已经可以说是个奇迹了：对于这株脆弱的小苗木来说，除了激励之外，主要还需要自由”。看来，Andref Nikolaevich Kolmogorov是按照这个忠告去做的。他从不解任何东西，只是提出一些问题，而且也不把它们嚼碎。他给了学生完全的自主权。他也从不强迫学生去做什么，而总是等待着从学生那里听到惊人的消息。他完全尊重学生的个性这一点，是我所遇到的教授中最为突出的。我只记得有一次他干涉过我的工作：在1959年，他要我从一篇论圆周的自映射的文章中，去掉关于在心跳中的应用的一节，接着说道：“这不是人们应该研究的经典问题中的一个”。25年后，L. Glass发表了这个理论在心跳理论中的应用，而我当时却不得不把我的精力集中于同一个理论在天体力学中的应用。
问：您花了大量的时间与学生们一起工作。这对您的研究是否有帮助？
答：就我的学生们而言，我是非常幸运的。在他们中有许多出色的数学家，我为他们的成就而感到骄傲。其中一些像A. N.Varchenko、A. G. Khovanskii、N. N. Nekhoroshev、A. G.Kushnirenko、A.B. Givental'、V. A. Vasil'ev、O. V.Lyashkoh、O. P．Shcherbak，还是独立的科学家，与他们合作是件偷怏的事。我可以将一些与我有大量合作的非常著名的数学家看作是我的学生：Yu. S. Iliashenko、A. M. Gabrielov，S.M. Gusein-Zade、D. N. Bernstein、A. I. Neishtadt（他们起先从师于他人）以及代数几何学家A. N. Tyurin（在他还是中学生时，我就教过他）。顺便说一句，我也教过著名的数论专家G. Arkhipov和S．M. Voronin，当时他们还是中学生。
我也很重视我现在这一代学生的工作。这一代学生有：V. I.Bhkhtin、M. E. Hazaryan、B. Z. Shapiro、V. L. Ginzburg、 Yu. V.Chekanov、B. A. Khesin、I. A. Bogoevskii、G. S.Petrov-Tan'kin、V. V. Goryunov和V. M. Zakalyukin等
我所感兴趣的问题，通常比我正着手解决的要多，而我的学生们为我分担这项工作，对我帮助良多。
问：关于数学，您念些什么？
答：对于我来说，要想读当代数学家们的著述，几乎是不可能的。因为他们不说“彼嘉洗了手”，而只是写道：“存在一个t_1。不过，有几位数学家----比方说Milnor和Smale----所写的文章是仅有的没有这么做的例子。
我所研究的大多数文章，都由我的学生们或者我的朋友们负责向我解释。我对上个世纪的数学家们尤其是Poincare的著述有更好的理解，但我发现17世纪的数学家们的那些著述最清晰而且实际上也更现代。顺便说一说，依我看，从Huygens和Newton到Riemann和Poincare这二百年的间隔，是数学的仅仅充斥着计算的荒芜时代。
我愿意提一提，最近我在Newton的《原理》中找到的一个关于Abel积分的拓朴的定理。数学家们以前似乎没有注意到这个定理，因为Newton走在他那个时代之前约二百年，可以自由地使用解析开拓的思想，而解析开拓在今天称之为单值化。我们说一条卵形线是可代数平方的，如果用一条直线从它切下的那一块的面积是该直线的代数函数。Newton的这个定理是说不存在C^infty的可代数平方的卵形线，但存在除一点外处处是C^infty的可代数平方的卵形线，在那一点上对于任意大的n它是c^n的。
今年是《原理》出版三百周年记念。因此，我还要说一说那里提到的另一个问题。这个问题是一个关于回转体在非常稀疏的介质中沿它的轴运动具有最小阻力的变分问题。在这个问题上，Newton走在他那个时代前面三百年：它的极值曲线不是光滑的，而是有一个断点，Newton知道这一事实。如V. M. Tikhomirov告诉我的那样，这个断点出现在Newton的一个图上，但在《原理》后来的一些版本中的那个图上却没有了这个点。因为直到现在，当这个问题已成为一个与宇宙航行学有关的课题时，数学家们还是未能明白Newton所说的是什么。
问：有一些数学家是用代数的方式进行思考，也有一些是用几何的方式进行思考，还有一些是用物理的方式进行思考。您认为您是属于哪一类的呢？
答：我所记得的头一个问题是一个算术问题：
两个老妪同时从两个不同的城市出发，相向而行；她们在正午相遇，之后都到达了对方出发时所在的城市，一个是在下午4时到的，另一个是在下午9时到的。请问她们是何时出发的？
当时还没有学代数，这个问题的解决（基于相似理论，这个理论可以看作是一种物理理论）给我留下了非常强烈的印象，有一种发现者的感觉，就像以后每当我能够找到乍看似乎相距甚远的事物之间的联系时，譬如利用四维流形的拓朴在实代数曲线的理论与二次型的算术之间架起了桥梁时，所出现的感觉。
然而我常常是用几何的方式进行思考的：绘出图形而不是写下公式。
问：您认为数学中的哪一个研究领域最有前途？
答：数学有一个人们所不能不赞叹的性质，就是它的最抽象因而乍一看亳无用处的一些分支，只要它们是美的，便具有超凡的效能。我非常喜欢S. Weinberg在1986年10月份的《美国数学会通告》（Notices of the AMS，728页）上对超凡效能所做的解释：“这是因为一些数学家为了预知哪一类数学在科学上将是重要的，而把灵魂出卖给了魔鬼”。但是，在我看来，一方面当代数学著述的绝大部份并未能满足美学上的要求，因而另一方面也就绝不会有什么用处。也许不但过去情况总是如此，也是数
学的所必需部份将产生的不可缺少的条件。
一大群苏联数学家以比较严肃的态度，试图在一套多卷本的著作《数学的当代问题：基本方向》中阐述他们关于数学的观点。自1985年起，这套书已出版了十二卷。我比较喜欢《代数学I》（I. R. Shafarevich著）和《拓朴学I》（S. P. Novikov与D. B.Fuks合箸）这两卷。我也参加了几卷的撰写，它们是《动力系统I》（与D. V. Anosov和Yu. S. Il'yashenko合著）、关于辛几何的综述（与A. B. Givental'合写）、关于分歧理论的综述等等。Springer出版公司把这些著作都译成了英文。
问：看来，西方和苏联的数学活动方式的差别之一是，你们这里的数学家都集中在两个中心。这种状况有些什么长处和弊病？
答：大多数活跃的数学家都集中在莫斯科和列宁格勒这两个地方，就为我们提供了使被地理分隔开的数学家们能经常接触的机会。例如，我曾有幸与一些同时在同一所大学里工作的数学家，像A. N. Kolmogorov、I. G. Petrovskii、N. N. Bogolyubov、L. A. Lyusternik、L. K. Pontryagin、P. S. Novikov、A. A.Markov、I. M. Gel'fand、I. R. Shafarevich、V. A. Rokhlin、A. O. GeI'fond、A. Ya. Khinchin、P. S. Aleksandrov、E. B.Dynkin、A. G. Vitushkin、G. E. Shilov和M. M. Postnikov，以及一些物理学家，像M. A. Leontovich、L. A. Artsimovich、I. E. Tamm、L. D. Landau、E. M. Lifshits和I. M. Lifstovich等一起进行研究。同时，与我的下述一些同学，参加了同一个讨论班：V. M. Alekseev、Ya. G. Sinai、D. V. Anosov、Yu. I.Manin、S. P. Novikov、A. A. Kirillov、D. B. Fuks、G. N.Tyurina、E. B. Vinberg和V. P. Palamodov；V. P. MNaslov和L. D. Faddeev要年长几岁。
这样集中的弊病是，年青数学家们难以找到职位，而他们又都想在莫斯科或列宁格勒工作，在这两个地方要想找到一份工作是越来越难了。
问：最近（在1986年12月）政治局正式通过了一项关于在苏联增强数学作用的决议。你认为这项决议对这里的数学状况会有怎样的影响？
答：在60年代初期，一大群能力很强的数学家同时涌入莫斯科，就与1953年之后数学发展的条件急剧地改善紧密相关。人们可以期望现在的改革将会有类似的满意结果，尽管它们并不会马上到来。
问：请告诉我们，您最近为什么从莫斯科国立大学转到Steklov数学研究所并以它为主要机关？
答：我不得不离开莫斯科国立大学，是因为在1973年Petrovskii故去之后数学系的条件恶化了。自1953年以来，Petrovskii一直是校长，他为莫斯科的数学发展做了大量的工作，随后，几乎同时继任校长R. V. Khokhlov在登山探险队里也意外地故去了。很难预料专家们权限的逐步降低（甚至戈尔巴乔夫
也谈到了这点）给数学发展和整个国家所带来的后果。
问：传闻您卷入了优先权之争。这是真的吗？
答：我从来没有引起过优先权之争，不管是与苏联的数学家还是与西方的数学家。与西方数学家不和，似乎会引起这类问题，但并不涉及某某结果是属于谁这样的事，而是涉及到这样一个问题：当一个结果最早是发表在一本俄文的著作中，而如果之后西方又发表了一个类似的结果，那么人们是否应该引用那本俄文的著作呢？
西方人通常大致是这样引用的：“这个结果属于N（见[x]，之后[y]出现了”。这里的[y]是一篇俄文文章的
1979年发表的英文译文。它的原文包含有这个结果的证明，是1975年提交、1977年发表的。而[x]却是某个西方作者的预印本，其中的这个结果是1980年才宣布的。数字上的差距有时竟达10年。
所有苏联的数学家都时常遇到这种情况，但大多数认为这是缺乏私人交往的一个不可避免的结果。我自己不可能抱怨别人引用少了我的工作，也绝没有抱怨过。但我坚持认为，西方数学家们应当适当地引用我的老师们（特别是Kolmogorov、Bogolyubov和A. A. Andronov）以及我的学生们的文章。
让我们从书架上随手拿一期《数学创作》（Inventiones），来数一数参考文献和俄文文章的篇数。在（Vol．86，Fasc，2，1986）8篇文章的156篇参考文献之中，即使把这些（Beilinsoe的著作）在法国发表的算在内，也只有两篇文章系苏联数学家所作。《引用索引》（Index of Citations，Garfield）统计的结果更糟，是一个七百对一的比率。这似乎使我联想到这是一种联合抵制行动。为了比较，让我们从书架上拿一期《泛函分析及其应用》
（附俄文名称，Vol. 21，No. 1，1987）：在5篇大文章的62篇参考文献中，22篇是俄文的，40篇是外文的。我认为这更接近真实的比率。
在某些情形下，当我见到西方发表的文章重复了俄文的著述时，我会通知该文的作者知道这件事，结果，在大多数情况下，这个作者并未有意识地去了解俄文的工作，但俄文的文献的的确确存在。尽管如此，我仍然认为，不引用平行的俄文文章的做法，太随随便便、太心安理得了。
这类误差对苏联有才华的年青人的命运，是毁灭性的打击。而外国数学家们却以为，把结果归功于无能的竞争者比归功于一个同行要更容易些。
问：您到底查不查评论性刊物？
答：Chebyshev劝告人们不要了解他人在做什么，以免损害你自己的创见。我几乎从不浏览评论性刊物，当我偶而为之时，我发现它们令人苦恼。显而易见，经典问题的捏造的答案常常得到了相当肯定的评论（由此显见，评论员甚至不怀疑这种结果的耸人听闻的本性）。《原理》的评论或许会写成这样：“作者研究了圆锥曲线的一些性质。书中阐述了作者撰写本书的天文学动机。书中有许多图片，它们使得本书更为难懂。书后没有索引，命题序号的排列也极为令人遗憾。书中还宣布解决了一个变分问题，但评论员未能重新构造出它的证明。作者还对著名的Descartes理论是否正确表示怀疑。在评论员看来，（关于上帝是否存在的）最后结论是没有适当根据的”。此外，如果评论的是一篇俄文文章，那么由A可得B（from A follows B）这个定理会被译成“由B可得A”（A follow from B）。在我年轻的时候，这样的评论使我感到气愤。但现在我知道，一般水平的评论员都自动地省去了所有本质上是新的和不寻常的东西，而那些能够论及工作的实质的评论，通常要么是对模仿者的工作----众所周知的领域里的一连串的著述，这样的文章对于评论员来说要容易理解得多----的评论，要么是评论员的朋友的文章的评论。我通常只是利用《数学评论》（Mathematical Reviews）的作者索引，来查找我所感兴趣的某位作者的作品。
问：我知道您喜欢滑雪、垂钓、骑车和游泳。那是消遣吗？
答：当我不能证出什么东西来的时候，我就穿上滑雪板，滑上40至60公里（通常是穿游泳裤）。在这段时间内，困难常常自行消解了，回来时我就有了一个现成的答案，或者不管怎样我知道下一步该怎么做了。验证之后又会发现在用这样的方法得到的这个答案中还有错，但这现在即是另一个障碍了，再用同一个方法又可以克服它。
为了消遣，除了别的以外，我还喜欢听Vivaldi和Mozart的音乐以及Bach的勃兰登堡（Brandenburg是德国柏林以西一城市）交响乐。
答谢 我要感谢Tatyana Belokriniskava、Askol'd Kho-vanskii和Aleksandr Varchenko所给予的帮肋。
数学是理性的最原始的源泉；生物学家也必须求助於数学来寻找进行研究的手段。----- Comte, A.
只有通过数学我们才能透彻地理解什么是真正的科学，只有在这里我们才能以高度的简明性和庄严性认识到科学的定律以及人类思想所能够达到的抽象境界。从任何其它观点建立起来的任何科学教育，从根本上说是错误的。 ----- Comte, A.
