介绍一个等周问题的初等解法

等周问题是指对等长的简单闭曲线， 求能围出最大面积的曲线。这是个经典问题，解法很多，有一些用到深刻的数学分析。答案是圆。

下面的解法来源于美国数学月刊某期（记不清了）。 证明分三步， 每步都很简单初等。假定 K 是一个围出最大面积的曲线。

1) K是凸的。几乎不证自明。

2）如果弦 AB 分K 为长度相等的两段曲线，那么 AB 必然也平分K 围出的面积。 否则，把大的那一半对称的翻过去，可以得到一个围出更大面积的等长曲线。注意这里没有要证明曲线是对称的。

3）如果弦 AB 分K 为长度相等的两段曲线， C 为曲线上任意一点， 角C 必为直角。 否则，如图所示，可维持红色区域形状不变，但把角 C 变为直角，这样上班部分面积变大。 然后用上半部分的对称翻转取代下半部分， 得到一个围出更大面积的等长曲线。