什么是概率？ （六）

工欲善其事，必先利其器 ---- 孔老二

4.测度论的成长

对于平面或者空间图形，诸如长方形，正四面体，椭球等等对象的“长度“，“面积“和“体积“这样一些表征它们的“大小“的量，在牛顿等人提出微积分以后，已经有了比较完善而且有效的处理手段。这就是我们熟知的（黎曼意义下的）定积分，它从最重要也是最基本的情形---曲边梯形的面积出发，解决了“实心“体（基本上就是稠密的有界闭集）的大小问题；而微积分基本定理则提供了定积分和原函数（即微分的逆运算，又叫不定积分）之间的桥梁，使得具体计算变得简单可行。

然而很多应用问题要求理解一些结构更为复杂的点集。比如我们前面提到的关于自然数集的某些子集的概率问题，如果我们从[0，1]区间的例子反过来设想，我们如果能够理解所谓自然数集的“长度“这样的概念的话，我们可以用类似以子区间（比如[0，1/2]这样的东西）的长度来刻画自然数的子集的“长度“，然后以两个长度的比值来描述概率。这样的办法可能会比原来那种直接“数数“的办法要好一些。又比如说，如果我们要考察某种在有理数集上的分布的话，那么我们大概是不可能数数了，但是如果能够搞出某种办法来定义有理数集或者其子集的“长度“的话，我们仍然有可能研究其上的概率问题。

所以我们想推广长度的概念。既然要推广，我们就应该想想我们脑海里面的“长度“究竟是什么东西？究竟有哪些性质刻画了这样一个概念呢？ 首先，长度是非负的。其次，它是唯一的，就是说一样东西只能有一个长度（什么？小孩子会长高？去你的，偶说的是同一时刻的，少跟偶玩什么德谟克里特。。）。而我们感兴趣的主要是有限的长度。此外，极其重要的是，我们看到的长度都是可加的，就是说一根棍子再连上另一根，那么新棍子的长度就是原来两根棍子的和。同样的，如果把一根棍子折成两段，那么这两段长度之和就等于原来棍子的长度。这些基本上就刻画长度这个概念重要的性质。至于那些长度到底等于几，其实没那么重要，或者说根本就不重要。比如说，三国演义说关公身长九尺，难道你真的信姚明只到他胸口？测量单位是个相对标准，一旦有变，相应的数值就会变化。美国用码，我们用米，但是就算我们不清楚相互之间的具体换算关系也不改变长度的基本性质。（虽然在这里我不打算详细讨论，但是提一下，只要对于长度（测度）为0的对象有一致的定义，数学上就称这样的测度为等价的。）

上面3条性质，比较显然直观，但是威力也不够大。尤其没有能够提供从有限到无限的桥。连古人都考虑到拿出一根棍子，什么“日取其半，万世不竭“之类，反过来想也就是说被截成的那些一段一段的小棍子（有可数的无穷多）它们的长度合起来应该正好还原成原来的那根棍子。这个性质不再是那么简单了，但是我们还是希望长度或者更加广泛的“测度“最好具备它，因为这样可以使这个概念能更加有用，同时也基本符合我们的直觉。这就是所谓的可数可加性（又叫做á-可加性）：
如果点集A1, A2, ..., Ak, ...都可以定义长度/测度，而且两两互不相交，A=所有A1,A2,...的并集，并且A也可以定义长度/测度的话，那么 A的长度 = 所有A1, A2,...的长度和。

现在，让我们以长度为样子，试着在实数集R上面建立一个由R的一些子集到R+(非负实数集，包括0和正无穷---偶敲不出那个通常的数学符号来，请包涵）的映射m, 使得：
1）m(空集）=0
2）对于任何实数a,b，区间[a, b]有：m([a, b])=b-a，这里我们称空集和闭区间为可测的。
3）对于任何子集A1,A2,...,Ak,...如果他们互不相交，而且可测，那么它们的可数并集A也可测，并且m(A) = sum(m(Ai), i=1 to infinity), 这里允许有正无穷在等式里。
4）如果A可测，那么A的补集也可测。（可以为正无穷）
这样定义出来的映射m, 就是一个R上的测度。m的定义域B是一个被称为á-代数的东西，这里给出的特例是著名的Borel集，而这个测度m也叫Borel测度。这样3样东西合在一起（R, B, m)被称为一个（Borel)测度空间。而B中的元被称为可测集。

很显然，这个B并不是所有R的子集的集合，它要小的多。大家可能会好奇的问，为什么不能搞一个定义在所有R的子集上面的测度呢？ 当然可以啦，比如说，你可以定义任何集合的测度都是0，完全没有问题。这个叫做平凡测度，当然也没有什么用处。比如我们会期望一个有用的测度在闭区间上保持和长度具有一样的性质，就是说应该有 m([a,b]) = b-a。 一个比Borel测度更加广泛而且保持这个性质的测度是存在的，就是我们前一段提到过的勒贝格测度，这是一个由所谓“外测度“构造得来的测度空间，它包含所有Borel可测集，以及多得多的其他集合，而且是完全的（Complete)。然而，如果我们承认选择公理的话，我们可以证明存在一个不可测的R的子集，这是著名的Vitali定理。以前康师傅写的一篇介绍选择公理的文章中提到过。这里我们就不再深入讨论了。

在了解了测度背后的“源于生活“的背景后，下面为了节省时间和空间（毕竟，我们目前只是在讨论工具而已），请允许我不再详细讨论而直接列出一些重要的概念：
考虑非空集X,
1) X的子集集合F被称为一个á-代数，如果
a) 空集属于F； b) 如果A属于F, 则A的补集也属于F. c)F中任何元素的可数并属于F.

2) 如果F是X的一个á-代数，m:F->[0,正无穷]，满足：
a) m(空集）= 0； b) á-可加性：对于互不相交的A1,A2,...属于F, A=所有A1,A2,..的并（所以也属于F), m(A) = sum(m(Ai), i=1 to inf).
那么三元组（X, F, m) 叫做一个测度空间，m 叫做测度。F的元叫做可测集。

3）对于测度空间(X, F, m), 如果函数 f：X -> R (实数集）满足：任何闭区间[a, b]的原像都是可测的，那么f被称为一个可测函数。

4）对于可测函数，我们可以通过一个叫做“标准机器“的程序定义它对测度m的（勒贝格）积分，这个积分对于黎曼可积的函数是和定积分一致的。这个“标准机器“的具体步骤比较繁琐，这里不打算赘述了，有兴趣的朋友可以参考

Lebesgue integral