数学的起点

                                        数学的起点

        对于不同的人，对数学起点的理解是不一样的。
        一个人从上小学开始接触数字，就意味着他/她从此走入了数学的王国。因此，对于大多数人来说，数学的起点是从学习已有的数学知识开始的。
        然而，对于笛卡尔来说，数学的起点是对数学内部以及数学外部世界的观察。当他发现数学系统中缺乏某种东西时，他就将观察的角度从数学系统内部转向了数学系统的外部，并开始对这个陌生的外部世界展开观察、抽象和思考，从而以严谨的理性和逻辑将解析几何引入了数学系统的内部，由此开创了一个崭新的体系，极大地丰富了在此之前的数学系统，并为后世的理论创新和应用奠定了伟大的基础。
        同样的情形对于高斯也是如此。他的正态分布的理论和数学模型不是从已有的数学知识推论出来的，而是在对测量中发生的随机误差进行仔细的观察和深刻的思考后，在假定的理想条件下，经过严密的数学形式分析构造出来的。
        这样的例子可以推及一切在数学领域做出了开创性工作的全部杰出的数学家。由此，我们可以归纳出一个简单的结论：
         数学的起点是一个人对数学系统内部以及外部世界的观察、抽象和思考，而最原始的数学起点则只有一个：那就是对外部世界的观察、抽象和思考。这两个起点就是一切新的数学知识得以产生的智慧源泉。因此，学会观察、抽象和思考是极其重要的智力训练。

[来自mitbbs/Mathematics论坛的评论]

         网友hehehehhe对此嗤之以鼻：“这篇看上去正儿八经的探讨数学哲学的文章，充斥了废话，模棱两可，偷换概念和没有逻辑性的话。用这种水平来写点科普说实话都点低，来探讨哲学还是算了吧。”她/他在引用了我的话“对大多数人，数学的起点是从学习已有的数学知识开始的。然而，对笛卡尔来说，数学的起点是对数学内部和数学外部的观察。”后反问道：“请问什么是数学内部，什么是数学外部，什么叫数学的起点？这个“然而”转折在哪里？难道笛卡尔不是从学习已有数学知识开始的？”最后，她／他得出结论说：“所谓的结论跟‘数学是靠脑子想出来的，不是靠脚想出来的’没什么本质区别。可能话刻薄了点，不过请你写连载前先推敲一下自己的东西。”

　　对此，我回答如下：

　　我只是试图写一点个人认识。没什么目的。
　　事实上，数学与哲学从未分家。从古希腊的毕达哥拉斯到笛卡尔到罗素到现代的卡尔纳普等。两者本来也不应该分家。一个好的数学家应该会力争做一个好的哲学家。
　　数学作为一个相对独立的系统，当然有内部和外部之分。数学有起点、有新的突破从而有新的起点，因此，当然也就会有“转折性”。
　　笛卡尔在完成了解析几何的理论创建后，在其哲学著作里谈到了这个经历，得出的第一个结论是：不要相信任何已有的知识，暂且放下全部已有的概念，仅从最少的几个无需证明的概念开始进行新的思考进而完成全部的理论构建。只有这样，才能做到独立思考从而实现理论创新。
　　由此可见，这位hehehehhe混淆了关于“数学的起点”的两个概念：一个是由既有知识构成的数学系统，这对于一个学习者来说是一个起点（我根本没有否认这一点）；另一个是通过对遇到的新问题进行独立思考而获得的新的数学知识。而本文要讨论的是关于新的数学知识的形成——也就是真正的数学的起点。
　　就此话题的讨论在我这一方已经结束。不再回答类似的评论。