房贷是基于复利而不是单利的:通俗易懂版

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最后一帖 (尽管食言了,昨天说了不再讨论这个的),尽量写得通俗易懂,但愿对个别人 (例如潜水没有发言的) 起一定的作用。

不参与讨论或者辩论。不过如果有诸如计算错误之类的问题,大家指出后我还是会谢谢并且改正的。

基于篇幅,这里就不详细解释单利 Simple Interest 或者复利 Compound Interest 的定义,好在大家对这个没有分歧。

首先,来点康门三四。
1) 大家知道美国银行的存款 savings account (等) 是基于复利的,所以除非特别原因 (例如政府命令等。这种可能是存在的,例如中国就规定活期储蓄是单利储蓄),贷款 (包括房贷) 也应该是复利的,否则银行在自杀。单利和复利的差别,在短期是没太大的差别,但是对长期 (例如 30 年) 储蓄或者贷款而言,差别是很大的。我前不久根据单利的定义,给房贷建立了个单利的模型,计算结果表明,对普通房贷,50万、30年、6% rate,单利、复利模型的利息差别,是 34-35 万左右。

2) 最重要的、不过也通常不那么被人注意到的康门三四,是对一个成熟、公平的市场而言,复利模型才是合理的,单利模型反而是不合理的。在 rate 公平合理的前提下,单利等同于借贷人抢劫放贷人 (例如中国的活期储蓄,就等同于银行抢劫客户的钱)。所以,通常的贷款 (包括房贷) 计复利,是天经地义的,这和银行、大栅栏墙街贪婪与否没有关系。这点,金融大佬、诺贝尔经济学奖得主的高徒全伊从专业的角度给了个简洁的解释。这里,俺再 次来个通俗的解释。复利模型之所以公平合理,是因为复利模型中,本金 Principal 和利息 Interest 是等价的,它们都能在下一轮利息结算中产生利息,而单利模型中,本金和利息是两种不同的钱,前者是能下蛋的金母鸡,能产生利息,后者则不能,但是从投资角 度而言,两者显然是等价的,没有区别。也就是说,对一个成熟、合理的市场而言,除非特例,储蓄、贷款都应该是基于复利的 (简单的说,就是允许利息产生利息,亦即利滚利),基于单利的反而是不合理的。据说从商业角度而言复利是犹太人的发明,因此你说犹太人贪婪也行,见利忘义 也罢,但是你得承认他们的智慧和理性。

普通房贷是一 种特殊贷款么?不是的,因为房贷 mortgage 配额公式,和房地产本身没有直接关系,那个公式适应所有分期等额付款形式的贷款,例如车贷。这点,大家随便找相应的 Online Calculators 验证验证就可以了,无须详述。所以,从康门三四角度而言,普通房贷应该是基于复利模型的贷款,否则否则目前市场上绝大部分分期等额付款形式的贷款就会是基 于单利的,这显然不对。

就我个人而言,我十分纳闷为啥居然有很多人认为房贷 (从而几乎所有的分期等额付款形式的贷款) 是基于单利模型的,这些人固然有少数是胡绞蛮缠的,但是大部份却是认真的。这真让人吃惊。

认 为是单利模型的人中,主要理由是这样的:在 mortgage 决定下来后,如果客户定期定量付款,那么每个月的利息就配完了,所以不存在利滚利的可能,所以房贷是计单利的。这个说法这种说法初看起来有些似是而非,花 个几分钟细细考究,就会明白站不住脚。这是因为,如果每个月的利息就配完了,那就只表明客户不会有额外的利滚利;如果某个月没有配完,那么没有配完的部 分,如果完全按照贷款模型,就会有额外的利滚利。无论客户定期定量配房贷与否,都不会改变既定的 Mortgage 原本就包含了利滚利与否这个事实。

那么既定的 Mortgage 是不是已经包含了利息产生的利息部分呢?肯定的。除了上述康门三四告诉你肯定外,我们还可以通过具体论证以及实例来表明这一点,尽管许多同学这么做了,但是我这里的方法和例子的角度不同,兴许会有额外的启发。

论证之前说两句题外话。
1) Mortgage 公式推理过程清楚的表明,因为每一轮结算利息时,利息是根据 current balance 计算的,所以它肯定是基于复利的模型,这点任何人都没法否认。本来,正因为 Mortgage 毫无疑问是基于复利模型的,话题就完全可以结束了,可以说 PERIOD 了,问题是有的同学一定得去用单利解释它,并且说没有利滚利。

2) 那么它是不是也有可能符合单利的定义、在是复利模型的前提下,同时也是单利模型呢?单利论者认为,是的,只要每个月的付款超过了利息,那么付款首先应该支 付利息部分,然后才是本金部分,而房贷月配明显超过了第一个月的利息 (从而超过以后任何一个月的利息),所以利息部分完全被抵消了,所以它也应该是单利模型。

3) 我几次要求单利派朋友为房贷给出个复利模型,可是至今没有看到任何进展。另一方面,我和真是好玩等人很早就为房贷建立了单利模型。

从纯算术角度而言,2) 可以成立。但是概念上,它和直观是违背的,毫无疑问会导致荒谬的结论。这是因为 2) 严重依赖这样一个假设,并且会导出一个看起来很荒谬的结论 (这个结论是单利论几位主将已经承认了的):

a) 依赖的假设: 单利模型中,客户偿还的钱必须先算利息,剩余部分 (如果有) 才算本金。他们说这是银行的规定,但是至今没有找到权威的根据,也没有解释这个规定的合理性。就康门三四而言,这个规定显然是不合理的,因为你存入银行的 钱是算利息还是本金?算利息,显得荒谬,所以应该算本金。所以基于对称原理,对单利贷款模型而言,你配的钱,自然只能算本金。复利模型则不存在这个 concern,因为利息和本金是等价的,算什么都是一样的。

b) 从这个假设推出的结论: 理论上不存在基于复利模型的分期等配额的贷款。这个结论毫无疑问是可笑的。即使它确实正确,这么重大的结论也应该从教材或者权威部门找到依据。谁找到了 么?再说,基于贷款和存款的对称性,如果我每月一号定期在储蓄账号 (假设 $10000 存款,5% Rate) 里取走 $100,银行就不给我计复利了?这不荒谬么?

另外补充两个 Issues:
1) 我发现一些单利的朋友不区分“Interest”这个词的外延,混为一谈。在银行年底给你的报税表中,银行会告诉你你为 mortgage 支付了多少利息。那个利息 is defined as your total payments,less your balance/principal change。这个利息实际上是 Interest you've paid 的意思。但是在贷款单利模型中,你某月k 的 Balance B_k 包含两部分:本金部分和利息部分:B_k = P_k + I_k,这里的利息的意思是你的账号 Balance 中“Interest Portion”这个意思,和上面的 Interest you've paid 是两码事,有些同学居然混为一谈。对单利模型而言,这里的 B_k、P_k and I_k 中有两个是独立变量,下一轮的利息,是这两个变量的函数,而复利模型则只是一个独立变量 B_k 的函数。从这个意义而言,复利模型比单利模型结构上简单。

2) 其实单利者们以前 ZT 的文章,说 no interest compound 的,基本上都是说房贷违约情形下所欠的钱是否去 compound interest 这回事情,包括一些官司案例。在违约情形下,法律对客户的保护,通常是对弱势一方的保护,代价就是破坏游戏规则的公平、合理。文明社会的特征之一就是强势 一方 yield 弱势的一方,比如说,吃救济享受福利。食品券是从天上掉下来的么?当然不是,是从那些较富裕些的人口袋里掏出来的。客户还款违约后,如果完全按照借贷模 型,那么客户违约的那部分 extra balance 会计入当前 current balance,重新计算 mortgage 配额。法律对客户的保护,就是禁止这一部分。法律这么做的另一依据,我猜,是因为银行的损失有个 bottom line:foreclosure。因此,对于客户违约房贷,银行几乎不会去 recalculate new mortgage payment,而是采取另外的惩罚方式。 但是这并非说原既定的 mortgage 没有利滚利。利滚利 (复利) 才是成熟的、合理的、公平的,也是“道德”的。

好, 接下来稍微形式化一点。很明显,如果你将贷款看成是 balance 是负数的存款,那么存款和贷款实际上是一回事情。例如你从银行贷款 $500,000,那就等价于你的帐户里有 -500,000 的 Balance。所谓的房贷或者车贷,无非就是银行主管牵着你的手,签订了一个协议,这个协议就是告诉你,你每个月往这个账号里存入多少钱,使得 360 月后 (对 30年贷款而言),你的账号 Balance = 0,就这么一回事情。

有 了这个铺垫后,余下的问题就很好理解了。比 如,就单利帐户而言,你去银行开个帐户,你存入 500,000,这个 500,000 算本金还是利息?当然算本金,因为算利息未免太荒唐。如果你第二个月存入 10,000,这 10,000 自然也只能算本金,因为这笔钱和利息无关。类似的,如果你开始贷 500,000,或者说存入 -500,000,这个 -500,000 算什么?自然也是本金。第二个月你存入 10,000,它当然也是本金。这里的概念相当清晰,那就是,无论对贷款还是存款,你存入的钱都是本金,不是利息。这就否定了上面单利派所依赖的假设,所 以我们再次证明了,单利模型是不对的。

如果这些还不能让他们信服,那么我们看个实例,从数据上证明房贷是复利而不是单利。因为这个实例就是来自 Mortgage 本身,所以它最有说服力。

实例:
假设贷 款 $500,000,年限 30 年,annual simple rate = 6%。那么根据 online mortgage calculator,monthly payment c = $2,997.75,total interest = $579,190.93。我们记这为方案A。

现在,我们假设在第一个月来个 prepayment,多配 $10,000。此后不再多配,每月恰好配 c = $2,997.75。我们记这为方案 B。大家进入这个网站

http://mortgage-x.com/calculators/prepayments.htm
计 算一下,结果是:total interest = $531,931.97,节省利息 $47,258.96,大约提早 19 个月还清贷款。这里之所以说是“大约19月”,是因为方案B的最后一个月不需要配 $2,997.75。考虑到方案 B 最后一个月实配 2,682.68,和 c 相差不大,所以我们以提早 19 个月进行估算,判断房贷到底是单利还是复利。

方案 B 既然能节省 $47,258.96 这么多的利息,这个省下的利息必然来自方案 A 和方案 B 之间的差别。差别是什么?很明显,因为两个方案在第2-341月配额完全一样,所以差别只在第一个月以及
方案 A 的最后19个月。具体的,是:

1st month,方案 B 多配 $10,000;
342-360th month:方案 A 继续在配 Mortgage。

所以两个方案的利息差别,应该等于方案 B 那个 $10,000 在第 2-341 个月,总共 340 个月,产生的利息,再加上方案 A 在 342-360th months (最后19个月) 利息的总和。

方 案 A 在342-360th month (最后19个月)利息的总和可以在amortization schedule 找到,将最后19个月的利息加起来就是。我做点苦力活,用 whole dollar 的办法四舍五入将它们加起来,得到 I_2 = $2,750。

现在来计算方案 B 最开始的一万产生的利息。
如果是单利模型,按照单利派的解释,这个10000必须是本金,因为第一个月的 c 比利息多,利息还完了。所以这个本金应该产生利息
A_1 = $10,000*340*0.005 = $17,000。
A_1 + I_2 = $17,000 + $2,750 = $19,750,这个和实际节省的利息 $47,258.96 相差很多,所以单利模型完全不能解释这个结果。

如果是复利模型,这个本金应该产生利息 B_1 = $10,000*1.005^340 - $10,0000 = $44,508.09
B_1 + I_2 = 
$44,508.09 + $2,750 = $47,258.09。这和节省的利息 $47,258.96 是一致的。其中约 $1 的估算差别来自哪里,我也懒得说了,大家去整。

计算结果很明确吧?房贷是基于复利模型的。句号,呵呵。
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