趣味数学（一） 风乍起，吹皱一池春水

这阵风，是由一个数学问题引起的。

主席台上有三扇门，主持人事先在每扇门后各放了一个礼品。其中一扇门后是一辆豪华跑车，而另外两扇后面各有一头漂亮的驴。主持人告诉大家：现在随机抽取一位幸运观众，由他随意选一扇门，门后的礼品就是他的奖品。虽然两只驴都很漂亮，所有人都更喜欢跑车。

幸运观众甲选好一扇门牌，门尚未打开。主持人在剩下的两扇门中有意打开了一扇有驴的门，然后问幸运儿，愿不愿与剩下的门交换。这位观众挠挠脑袋，拿不定主意。

聪明的读者，假如您是那个幸运儿，是换，还是不换？

这的确是一个有意思的问题。有人给当时IQ最高的Marilyn vos Savant写信请教。Marilyn vos Savant是IQ在吉尼斯的记录保持者，其IQ高达228分。Marilyn vos Savant信中说，该换，并且解释说：如不换，他得到跑车的概率是1/3，换以后得到跑车的概率将升至2/3。这封信发表在1991年Parade杂志的“Ask Marilyn”栏目中。

不料想，这样一封信，就象一阵风，吹皱了一池春水。或者更准确地说，是掀起了轩然大波。

当时有不少数学家和统计学家加入了声讨Marilyn vos Savant的行列。他们认为Marilyn vos Savant犯了很低级的错误，有人甚至要求Marilyn vos Savant为所犯的错误向公众道歉。而事实上，犯错的不是Marilyn vos Savant，而是他们自己。

为什么会这样呢？因为这有悖于大家的直觉。

直觉是什么呢？一般人的直觉是，既然跑车在剩下的门中，换与不换没有差别，每个门后有车的概率就都是1/2。

在这里，直觉是明显有漏洞的。为什么呀？

在主持人没有打开一扇有驴的门以前，幸运观众选择的门后有车的概率是1/3。为什么在打开一扇有驴的门之后，概率变成了1/2？因为礼品是主持放的，他总能准确地在两扇门中打开一扇有驴的门呀。假如这个直观是对的，就会产生下面的问题：观众随意选定一扇门，门后有车的概率，是1/3。而这时主持人只要打开另一扇有驴的门（这总是做得到的），观众所选门后有驴的概率就成了1/2，而他如果本想打开然后改变主意不打开了，那扇门有驴的概率难不成又变回1/3？这是无论如何都难叫人心服口服的。

那么，为什么交换以后，有车的概率就从1/3升到2/3呢？我们现在就来解释这个问题。

我们不妨换一个角度思考这个问题。假设除了幸运观众甲，节目主持人乙，还有一位观众丙，他们三人都可抽得一个奖品。如果主持人乙先挑，会是什么结果呢？因为奖品是他放的，他肯定能挑到跑车，另外两位得到跑车的概率是零。这显然是不公平的抽奖。

现在假设甲先挑，他挑到跑车的概率自然是1/３。如果乙接着挑，他挑中跑车的概率是２/３。为什么？奖品是他放的嘛，只要跑车没有被甲挑走，必然被乙挑走，丙是没有可能得到跑车的。这对丙还是不公平。

因此，公平的做法是，接下去由丙挑，丙能挑中跑车的概率也是1/3，所以这时三人得到跑车的概率都是1/3。公平合理。

现在再换一种做法。依旧甲先挑，接下来乙再挑，但是乙不能挑跑车，只能挑驴，这样丙得跑车的概率不就是2/3了吗？乙这样做，实际上是帮助丙得到跑车呀。

这时候，假如乙问甲要不要和丙换一下，答案不是一目了然了吗？回到最初的问题就是甲如不换，得到跑车的概率是1/3，交换以后得到跑车的概率将升至2/3了。

那么，为什么直觉有误呢？很可能是大家忽略了一个假设，就是主持人有意而不是随意打开了那扇有驴的门。

主持人有意打开一扇有驴的门，就提高了另一扇门后有跑车的概率。假如他是随意打开一扇门，结果就大不相同了，因为这时他还有一种可能，就是打开了一扇有跑车的门。实际上，他随意打开一扇有跑车门的概率是1/３，所以剩下的那扇门有跑车的概率还是1/３，交换没有任何好处，而这正是大家的直观所在。

接下来，我们简要提一下概率。

什么是概率？概率，粗略地讲，就是一个未知事件发生的可能性的一个度量。度量的最大值为1，最小值为0。要把概率说清楚，就必须弄清楚什么是样本空间，什么是事件。样本空间是由一切可能发生的结果个体组成的集合，而事件则是由部分（当然也包函全部）结果个体组成的集合。如果排除样本空间为无限的情形，可以说，概率为0的事件是不可能发生的事件，而概率为1的事件是必然发生的事件。其它事件的概率则在0和1之间。

要理解车和驴这个问题，有必要弄清楚这里的样本空间。我们不妨把三扇门标上号，比如该观众选中的是一号，剩下的分别是二号和三号。我们用（X，Y，Z，T）表示：一号门后有X，二号门后有Y，三号门后有Z，主持人打开的是T号门。那么，所有可能的结果是：

1：（车，驴，驴，二）
2：（车，驴，驴，三）
3：（驴，车，驴，三）
4：（驴，驴，车，二）

其中，（车，驴，驴，二）表示，一号门后有车，二号三号门后是驴，主持人打开的是二号门，而（车，驴，驴，三）则表示，一号门后有车，二号三号门后是驴，主持人打开的是三号门。

所以样本空间就是　Q　=｛（车，驴，驴，二），（车，驴，驴，三），（驴，车，驴，三），（驴，驴，车，二）｝。虽然我们列出了四种可能的结果，1和2合起来的概率才是1/3。所以交换有利的情形是3和4，它们合起来的概率是2/3。直观上的1/2，很可能来自误解，认为四个结果是等可能的。

假如主持随意（就是他忘掉了自己的放法，或者礼品是别人放的，他不知情。）在两门当中选择一扇门，碰巧是一扇有驴的门，结果又会如何？

要弄清楚这个问题，就得了解一点条件概率。条件概率就是在已知部分信息的情况下，原有事件的概率会有一些变化。比方说，在已知今天下大雨的情况下，明天晴天的可能性会小一些。同样，如果今天艳阳高照，明天晴天的可能性就会大一些。假设有两个事件，分别称之为A和B。在不知任何部分信息的情况下，事件A发生的概率为P(A)。而如果事件B已发生，则A再发生的概率为P(A|B)，我们可称之为：在已知事件B发生的情况下事件A发生的概率。一般说来，我们会有P(A)不等于P(A|B)。自然，也有可能P(A)=P(A|B)，这时我们又称事件A和事件B相互独立。条件概率由下面的公式算得：P(A|B)=P(A和B都发生)/P(B)。

假如主持是随意打开剩下两扇门中的一扇门，会出现几种情况呢？也就是样本空间是什么呢？我们可以列出如下情形：

1：（车，驴，驴，二）
2：（车，驴，驴，三）
3：（驴，车，驴，二）
4：（驴，车，驴，三）
5：（驴，驴，车，二）
6：（驴，驴，车，三）

请注意：在主持人有意的情况下，（驴，车，驴，二）和（驴，驴，车，三）是不可能发生的，因为他不会打开有车的门。这就是有意和随意的区别，也正是问题的关键。如果用A表示一号门后有车，而用B表示主持人打开有驴的门，让我们来算算，P(A|B)。因为P(B)=4/6=2/3，P(A和B同时发生)=2/6=1/3，所以P(A|B)=(1/3)/(2/3)=1/2。也就是说，在主持人随意打开一扇门，并且门后是驴的情况下，P(A|B)=1/2，这时交换门号毫无意义。

这也正是直觉上概率1/2的由来。

原来，那阵风的源头，来自有意和随意的一字之差。

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本文上网后，不少网友有疑问，作此后记。
关于驴车问题，也可参考下表：
一                二                  三
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车                驴1                驴2 　
车                驴2                驴1 　
驴1               车                 驴2 　
驴2               车                 驴1 　
驴1               驴2                车 　
驴2               驴1                车

6种可能中，4种交换有利，2种不利，所以交换总体有利。