趣味数学（二） 囚徒的困惑

一个监狱里有甲，乙，丙三个囚徒。有一天，他们听到了一个既期待又恐慌的消息：监狱管理层已经在他们三人中，随机选一人执行极刑，而剩下的两人将无罪释放。囚徒甲悄悄地问看守，因为乙和丙肯定有一个会被释放，能否告诉他，哪一个会被释放？

看守认真的想了想，然后很诚恳地说：我不能告诉你，因为这对你不公平。你现在有极刑的概率是1/3。假如我告诉你乙或者丙被释放，你有极刑的概率就变成了1/2了。

囚徒甲有点困惑。各囚徒的命运早已决定了，岂能因为看守偷偷说了什么而改变？看守的解释似是而非，到底错在哪里？

聪明的读者能帮忙解惑吗？

首先，看守的解释肯定有问题。设想一下，如果他偷偷地告诉甲，乙将被释放，甲被执行极刑的概率变成了1/2，那么，他完全可以如法炮制，偷偷地告诉乙，再偷偷地告诉丙，这样，三人被执行极刑的概率岂不都变成了1/2？于是三人中有一人被执行极刑的概率就变成了3/2，这怎么可能？

这个问题和前面的跑车与驴有点类似。

我们用（X，Y，Z，T）表示：甲有结果X，乙有结果Y和丙有结果Z并且看守告之T将被释放。比如，（刑，放，放，乙）是指：乙和丙被释放，看守告诉甲乙将被释放。当然，看守也可告之丙将被释放，这就是（刑，放，放，丙）了。这样，所有可能的结果是：

1：（刑，放，放，乙）
2：（刑，放，放，丙）
3：（放，刑，放，丙）
4：（放，放，刑，乙）

虽然总共有四种结果，1和2合起来的概率是1/3。看守的错误在于他把四种结果当成等可能了。

概率论中有不少有悖于直观的例子。比如说，著名的卡片悖论：口袋里有三张卡片，一张两面皆黑，一张两面皆白，还有一张一面白一面黑。现在从中取出一张卡片平放在桌上，发现是黑的，问另一面也是黑的概率几何？

这个问题，很多人会得出1/2的答案。为什么呢？因为总共有两张有黑面的卡，现在知道抽取的卡是两张中的一张，所以是两面全黑的卡的概率是1/2.  想想看，这里犯了什么错误？

正确的解法如下：用（XY，Z）表示卡片一面是X，一面是Y，并且向上的一面是Z。这样，所有可能的结果就是：

1：（BB，B）
2：（WW，W）
3：（BW，B）
4：（BW，W）

其中，1和2出现的概率均是1/3而3和4出现的概率分别是1/6。用条件概率计算公式，P(1|向上一面是黑)=P(1)/{P(1)+P(3)}=(1/3)/{1/3+1/6}=2/3.