趣味数学（五）再论称球

假如我们能够使用k次天平找出n个球中的一个坏球并告之轻重，并且没有一个球在k次称法中总在同一个盘中，如何在这个基础上用k+1次天平找出更多的球中的一个坏球并告知轻重？

我们说，用k+1次天平，能找出3n+3个球中的一个坏球，作法如下。

将3n＋3个球依次标号为a_1，a_2，...，a_n；b_1，b_2，...，b_n；c_1，c_2，...，c_n；d_1，d_2，d_3。

假设对标号为1，2，...，n的n个球，k次称法分别为W_1，W_2，...，W_k。

现在我们用如下称法：在每次称法中，a_i，b_i，c_i放在i对应的盘中。在这k次称法中，d_1总放在左盘，d_2总放在右盘。在接下来的一次称法W中，d_2和所有的b球放在左盘，d_３和所有的c球放在右盘，d_1和所有的a球不在盘中。请注意，在这（k+1)次称法中，依然没有一个球总在同一个盘中。

我们说，按这样的称法，就能找出3n+3个球中的一个坏球。为什么？理由如下。

如果在前k次称法中，每次结果都一样，那就表示坏球必在d_1，d_2，d_3中；在下一次称法中就能进一步确定坏球和轻重了。

如果坏球不在d_1，d_2，d_3中，在前k次称法，能找到坏球x，那就表示我们的坏球必在a_x，b_x，c_x之中，接下去的称法必能进一步确定哪一个是坏球和轻重。

接下来让我们看一个简单问题：如何使用２次天平找出３个球中的坏球？这个就容易了。第一次，左盘放１号球，右盘放２号球，３号球放一边；第二次，左盘放２号球，右盘放３号球，１号球放一边。这样很容易找出坏球并告知轻重。

这样，使用３次天平找出个12球中的坏球也就不难了。具体称法如下：

  左盘                                右盘
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a_1，b_1，c_1，d_1               a_2，b_2，c_2，d_2
a_2，b_2，c_2，d_1               a_3，b_3，c_3，d_2
b_1，b_2，b_3，d_2               c_1，c_2，c_3，d_3

知道数学归纳法的朋友，不难把这个结果推广为：使用k次天平，能够找出(3^k-3)/2个球中的一个坏球并告之轻重。