趣味数学（七） 两个概率问题

口袋里有三张卡片，一张正反两面皆黑，一张正面白反面黑，还有一张反面白正面黑。

问题一：你从中取出一张卡片平放在桌上，发现是黑的，问另一面也是黑的概率几何？

这涉及到条件概率。用（XY，Z）表示正面是X，反面是Y，向上一面为Z，用B表示黑色，W表是白色。比如，（BW，B）表示，卡片的正面为黑，反面为白，黑面向上。同理，（BW，W）表示，卡片的正面为黑，反面为白，白面向上。

我们先列出所有可能的结果，也即样本空间如下：

1：（BB，B）
2：（BW，B）
3：（WB，B）
4：（BW，W）
5：（WB，W）

其中，事件1发生的概率为1/3，其它四个事件发生的概率均为1/6。用条件概率计算公式，P(1|向上一面是黑)=P(1)/{P(1)+P(2)+P(3)}=(1/3)/{1/3+1/6+1/6}=1/2.

问题二：你闭起眼睛从中取出一张卡片递给我，我看了两面之后总是选出黑的一面向上平放在桌上，问你另一面也是黑的概率又是几何？

这里同样涉及到条件概率。其样本空间如下：

1：（BB，B）
2：（BW，B）
3：（WB，B）

这里，三个事件发生的概率都是1/3。请注意，问题一中的事件4和5不见了。不难算出，问题二中，两面都黑的概率是1/3。

不知读者对问题的解答有没有疑问？

如没有，恭喜你，因为这里的问题和“趣味数学（一） 风乍起，吹皱一池春水”中的驴车问题等价。驴车问题，不少人还心存疑虑。

为什么说这两个问题等价呢？不妨假设幸运观众甲选中的是一号门。让二号门对应卡片的正面，三号门对应卡片的反面，黑面对应驴，白面对应跑车。这样就建立了两个问题的对应关系。甲挑中了跑车对应卡片两面皆黑，甲挑中了驴则分别对应另外两种卡片的情形。这样，问题二就相当于主持有意打开一扇有驴的门，然后问甲愿不愿交换。这时交换显然有利。