趣味数学（十） 再找坏球

星星还是那颗星星，月亮还是那个月亮，问题也还是那个问题：有12个外表一模一样的球，其中有一个坏球重量不同于其他11个。只允许使用三次天平，如何找出坏球并弄清轻重？

为叙述方便，先给球用数字1，2，3，。。。，12标上号。

每用一次天平，就会有一个结果：左重，右重，或左右平衡。左重用L表示，右重用R表示，左右平衡就用B（BALANCED）表示。从左到右依次写下三次结果。比方说，LBR表示第一次左重，第二次左右平衡和第三次右重。我们的目标是设计一种三次称球的方案，使得从称球的结果可以简单判断哪一个是坏球，是轻还是重。如何做到这一点呢？

我们知道，三次称球，有27种可能的结果，因为每称一次有三种可能结果。其中有三种结果，我们可设法排除。哪三种呢？就是LLL，RRR和BBB。结果BBB说明什么？它说明坏球三次都没有上天平。是骡子是马，得牵出来溜溜。不上天平称称，如何能知道是轻还是重呢？所以每个球至少得用一次天平。另外，LLL和RRR表示坏球始终在天平的同一边，我们也排除掉。排除了这三种情况，还剩24种可能的结果。

另一方面，坏球可以是12个中的任何一个，又有轻重两种可能，所以也是24种可能。如果能够找到一种方案，使得24种可能的结果分别对应24种可能，那就万事大吉了。

有这样的方案吗？

如果三次结果为LRB，它说明了什么呢？分两种情况看。如果坏球为重，就表示坏球依次在左边，右边和不在天平上；反之，坏球为轻就表示坏球依次在右边，左边和不在天平上。在天平使用中，某球在左就用l表示，在右就用r表示，不在天平上就用b表示。依次写下某球每次的天平使用情况，我们称之为该球的轨迹。比如，如果某球的轨迹为rrb，就是说该球前两次在右边，第三次不在天平上。这样，如果三次结果为LRB，就说明坏球的轨迹是lrb或是rlb。如坏球为重就是lrb，为轻则是rlb。换句话说，同一个结果对应两种可能的轨迹。同样，如果三次结果为RLB，也对应lrb和rlb两种可能的轨迹。

我们称球，其实就是给每个球设计一个轨迹。好的设计方案，应该是不同的球有不同的轨迹。如果球甲和球乙的轨迹分别是lrb和rlb，这有什么缺陷呢？如前所述，假如结果是LRB或RLB，坏球的轨迹就是lrb或rlb，这样，我们还是不能确认哪一个是坏球。所以好的设计应该避免这种情况，就是说lrb或rlb只有一个被赋予使用的轨迹。如果lrb已经是某球的轨迹了，rlb就不该用了。我们说lrb和rlb是辩识混淆的轨迹。当然，还有很多其它辩识混淆的轨迹，比如llb和rrb，rbl和lbr，等等，一共有十二类辩识混淆的轨迹，列举如下：lbb，rbb；lbl，rbr；lbr，rbl；llb，rrb；rlb，lrb；rll，lrr；rlr，lrl；rrl，llr；brb，blb；brl，blr；brr，bll；bbr，bbl。所以我们希望从每个混淆类中挑一个出来作为可用轨迹。那么，到底选哪一个呢？随便选一个都行吗？

随便选不行。我们希望每次称球，天平左边，天平右边和不在天平上的球一样多，因为这样获取的信息量最大。如何做到这一点呢？

既然排除了lll，rrr和bbb，每个轨迹就至少有一个变化，我们用第一次的变化来代表该轨迹的变化。比如，llb的第一次变化是从l变到b即lb，rbl的第一次变化是rb。

接下来我们给变化一个定向：如lr，rb，bl分别为顺时针定向，则rl，br，lb分别为逆时针定向。我们将每个类中变化为顺时针定向的轨迹当作使用轨迹取出来并分配给十二个球。不难证明，按这样的轨迹使用天平，可以满足天平左边，天平右边和不在天平上的球一样多。

按这种方法称球，我们很容易找出坏球并判断轻重了。

三次称球的结果得出来之后，分别将L换成l，R换成r，B换成b就得到一个轨迹，这样就得到一个相应的轨迹。如果该轨迹是使用轨迹，就表示坏球为重并且所对应的球为坏球。如果该轨迹不是使用轨迹，就表示坏球为轻。哪个球是坏球呢？该轨迹的混淆轨迹必为使用轨迹，它所对应的球就是坏球。

接下来我们就给出具体方案。先随便给12个使用轨迹分派球号。比如：

球号　      使用轨迹　        混淆轨迹
-------  --------------  ---------------
1         llr               rrl
2         lrb               rlb
3         lrl               rlr
4         lrr               rll
5         rrb               llb
6         rbl               lbr
7         rbb               lbb
8         rbr               lbl
9         bbl               bbr
10        bll               brr
11        blb               brb
12        blr               brl

然后再根据球号所对应的使用轨迹制定称球方案如下：

天平左边                   天平右边
-----------------　　 -----------------　
1，2， 3， 4            5，6，7，8
1，10，11，12           2，3，4，5
3，6， 9， 10           1，4，8，12

这样一来，就很容易根据结果找出答案了。将结果中的L变成l，R变成r以及B变成b，也即将结果变成轨迹。如果轨迹是使用轨迹，则坏球为重，否则为轻。它所对应的球号就是坏球。比如结果是RRL，其轨迹为rrl，属非使用轨迹，对应1号球，所以坏球为1号球并且轻。

有兴趣的朋友不妨试试其它结果。HAVE　FUN！