让人心里不踏实的数学 - “数学在自然科学中不可理喻的有效性”

因着John Nash的缘故，脑子围绕着'数学'这件事情再多打了几个转儿。

数学，可真是件让人不可思议的事情。

 

Brian Greene和Neil deGrasse Tyson俩人有一回在一个讲座上斗嘴，争论的是数学这个东西到底是不是个宇宙普适的语言。Tyson和Greene，一个天体物理学家，一个理论物理学家，Greene同时还是个数学教授，两个人的数学当然都好得不得了。Tyson先来一个半玩笑的信徒式宣言，说俺研究宇宙的，数学呢它绝对就是宇宙语言。这是宇宙它老人家亲口告诉我的。我倒知道Tyson的信心打哪里来，他的终极偶像是牛顿先生。牛顿发明了微积分，他就是我们现代数学的老祖宗，玩数学的如果搞祖先崇拜的话牛顿的牌位是当然要供奉的，Tyson他就专门收藏了一部仿古的《数学原理》。对他来说，宇宙就是牛顿他老人家，牛顿就是宇宙总代表。如同Alexander Pope的诗句：'自然与自然之道隐于暗夜之中。上帝说，使牛顿去！于是光明来到世间'。微积分，就是牛顿带给人间的那一道光明，也当然就是宇宙通用语言。Greene却不十分放心，说这数学毕竟是人脑子的主观意识产物，不是谁教给我们的。不敢说它就到哪儿都通用。假如有一天我们遇到了外星人，人家说，把你们的看家本事抖搂抖搂让咱见识见识，都会啥？咱们就把《数学原理》拿出来给外星人看，说怎么样？牛X吧！人家一看说，这玩意儿，初小水平呀，也就能解决点子鸡毛蒜皮的小问题。我们家Johnny该上一年级了。过来过来，给你地球大叔解道偏微分方程看看。

 

美国人有句俗语：If it sounds too good to be true, it probably is。天桥儿摆摊卖大力丸的发誓说他那药上治口疮下治痔疮头顶长疮脚底流脓全都管只要是你能说得出名儿的病吃它一概包好。我们一听它这么包治百病，就明白它无疑的绝对是个假药儿 - 人世间哪件东西会有这么十全十美？但有一件似乎在例外着，那就是数学。数学在违反人类的常识，这让人心里不能踏实。一直以来总有人在争论着这个问题：数学这东西，它到底是个发现呢，还是个发明？Tyson自然认为它是个发现。就好比老上帝本尊就是个数学家，他造万物时都是循着数学原理的，万物运转起来也循此理，再后来这事通过牛顿他老人家透露给了人类。而Greene显然认为数学纯粹是人脑子的产物，但同时也觉得这事简直神奇得不得了让人摸不着头脑，它怎么会像传说中的大力丸一样这么好使呢？诺奖得主、物理学家Eugene Wigner有一本书的书名叫《数学在自然科学中不可理喻的有效性》。这句话也基本上涵盖了关于数学的这个悖论：一是它能如此精准地描述现实世界，实在让人顶礼膜拜。二是这个人脑意识的产物竟能如此精准地描述现实世界，简直的不成道理！

 

认为数学是人脑意识的产物，并非必然实属偶然，这是当下认知界的一个共识。有一位学者是这样论证数学的'偶然性'的：人类凑巧生活在一个离散化的世界里，一手摸到了五颗豆子另一只手抓到三颗，5+3=8，数字的概念就形成了。如果人类不巧是一种生活在深海里的软体动物，周围只有连续介质 - 海水，五滴水是一滩水，再加三滴还是一滩水，加法就根本发展不出来。但我觉得他这是一个让人脸红的论证。数学的基本要求是至少有一点点抽象思维能力，这个抽象思维能力使得几滴水和一滩水有可能发生关联。没有这个能力数学当然发展不出来。所以他只是说明了数学的必要条件是有抽象思维能力，别的什么也没能论证出来。还有就是当人们讨论数学是否宇宙语言的时候，我总感觉他们在说'语言'这个词的时候，潜意识里有'福音'这个念头。原因大概是大家都是一个宗教文化的大背景下长大的，不管信教还是不信总不免被它熏陶着。这样一来就把问题越讨论越玄虚。倒不如退一步，从'语言作为一种工具'的角度思考一回。这就是我想试一试的。

 

自从牛顿把力学和微积分介绍 - 我既不想用'发现'也不想用'发明'，就说是'介绍'吧 - 给了人类，科学家们用它们开发出很多解释大自然研究大自然的工具，其中的一个精品是Navier-Stokes方程



这个以一个法国人和一个爱尔兰人的名字命名的方程式用来描述我们身边的流体流动现象 - 所有我们身边的流动，所！有！的！从江河湖海到血管流动，从大气环流到抽水马桶、飞机设计、发动机制造，它样样都管管得就是宽。这样的方程我们叫它governing equation，总督全体跟流动有关活动的意思。在今天，N-S方程是航空人的吃饭的家伙干活的工具，没了它我们立刻会有赤身裸体手无寸铁的感觉。有意思的事情是，虽然N-S方程已经有了快二百年的历史，我们也几乎是认为它是普适的，但也不敢拍胸脯百分百保证没例外，并且也不敢说它永远一定有解。这是因为它是经由一些假设推导出来的，也就是说是人类抽象思维的产物。它能在我们身边的所有流动现象中得到印证已经是个奇迹。特别要提的是紊流流动问题。关于紊流有一个不懂流体力学的人也会知道的故事，物理学家海森堡死前说，要带着两个为什么去见上帝，一个是为什么相对论，另一个就是紊流。他还说，第一个问题老上帝估计有答案，第二个问题就难说。他终于问没问老上帝有没有得到答案，我们至今还没有听到什么消息，所以大家还是不明白紊流这件事。到目前为止，一般认为N-S方程也是适于紊流的，只是我们不知道为什么。

 

说到这里已经挺神奇，然后我们让视线离开地球去察看太阳系，不只我们身边的流动，天王星上的大红斑也印证了N-S方程。不过这倒也不算什么，那是我们太阳系里的亲戚不是？接着再把视线向外放射，涡旋星系的形成，星系中恒星的运动也都可以用它来描述，这就有些惊天地泣鬼神的意思了。人类的抽象思维与宇宙丝丝相扣，这意味着什么？N-S方程真的仅仅是人的主观意识产物吗？

 

接下来离开现实开始海阔天空。假设我们真的遇上了一帮外星人 - 一些智力不低于人类的外星人，坐下来和它们聊聊各自星系的形成年代。我们住银河系他们住在Andromeda - 离开我们最近的那个涡旋星系，既然是邻居一起拉拉家常很有必要的。当然了，也不可以是鸡同鸭讲式的对话。古代中国有个说法叫'狼狈为奸'，据古人说是有这么一种名叫'狈'的动物，前腿短后腿长自己跑路不方便，于是它把前腿搭在狼的背上，两个家伙合作一起干坏事。这当然是胡扯，典型的狗屁文人闭门臆想出来的天方夜谭。真实的是这是两匹狼在性交，狼在交配的时候会相互'锁'起来，打也打不散。即使有人拿着棍子追它们也只能以这个姿势'狼狈逃窜'。根据这个典故，我总是把一切异想天开加无知弱智的理论称之为'狈论'。当我们谈论星系形成的时候，我们很确定自己是在谈'狼'而非'狈'。我们可以拿出数学方程来解释，而且这个方程不是仅仅描述现象而是在揭示机理，它是关于某些场与一些量的变化率之间的内在（intrinsic）关系，可以演示现在、模拟过去、预测未来。外星人们如果不比我们的智力差，想必就不会向我们宣讲'狈论'。它们也会是在谈'狼'，和我们说的是一回事。很可能它们不会像我们一样用到'场'、'量'、'变化率'这些特定的表达，但因为大家描述的是同一件事的同一内在机制，不用怀疑这时就可以准确地互相翻译，好像我们和它们在各自说一种宇宙方言，有可能互相交流，更可以相互补充。从巴别塔的经验看，相信老上帝不会希望有一个统一的宇宙语言。那没关系，我们只要和外星人达成共识，我们的数学和它们的数学都各自是一种宇宙方言，平等对待互通有无相安无事就好了，语言作为一种工具的目的已然达到。不过呢，如果不幸它们对我们开讲的是'狈论'，我们就可以考虑到它们的星球去殖民，也帮它们开化开化。

从工具的角度看，数学在我们这个有限宇宙中无疑具有认识世界交流知识的功能，我们也就不妨把它当作一种宇宙语言来看待。除非老上帝是在和我们恶作剧。有人说，不能排除这种可能性：人类所观察到的一切都是他老人家布置的幻象。这就是为什么我们主观意识和观察到的现象能惊人地吻合 - 他在逗我们玩呢！地球就是一个大舞台，好像那个电影《The Truman Show》。只是我们连观众是谁或者是什么都不知道。还有一个不同就是Truman可以挑战大导演：You never had a camera in my head! 导演也只好承认他虽然有成千上万架录像机，没有一台能装到Truman的脑袋里去。但是在这里老上帝在每一个地球人的脑袋里都装有一台监视器，谁在想什么他全知道。如果有外星人存在，它们那里上演的完全是另外一出戏，和我们这台的剧情彻底不同它们看到的'宇宙'也和我们看到的毫无相似之处。或者，连外星人这个想法都是他在逗我们玩。按照这个假想，我们就推不出任何有用处的结论。所以这不是一个科学假说，还是把它留给哲学家们去钻牛角尖吧。