话说三毛小时候也是富贵人家的孩子，一头青丝。后来，家道中落，三毛虽小，敢为父母分忧，无奈生计艰难，愁烦不已，以至于满头青丝，萌生褪意。天长日久，青头搔更短，浑欲不胜簪，最后只剩三根，遂得名三毛。
俗话说，有毛就不算秃子。据此，三毛大摇大摆地走近剃头挑子，剃头匠问，小师父，怎么伺候? 三毛说，梳头。剃头匠又问，怎么梳法? 中分? 还是偏分? 三毛大言不惭地说，来个披头散发吧。剃头匠被难住了，最后对三毛说，听说对面药房的生发散挺管用，要不，你先弄几付试试，吃着有效再来找我?
三毛走后，剃头匠闲极无聊，琢磨了起来。如果生出一根，三毛变四毛，再生一根，四毛变五毛，... ...，要生出多少根头发，三毛才是名符其实的披头散发呢? 头发一根一根地生不现实，那么，干脆反过来，从一头青丝起，一根一根地往下拔。拔掉一根头发，算不算一头青丝? 算。拔掉二根头发，算不算一头青丝? 算。拔成三毛，算不算一头青丝? 不算。问，拔到掉第几根头发，就不算一头青丝了呢?
有道是，一图胜千言。三毛是个虚构的人物，还是让我们找个真人作例子吧。英国皇室成员的曝光率高，图片都在公共区域，没有肖像权问题，因此，威廉王子是最佳的例子。只是用王子作三毛的形象代理有点不厚道，不过，我要讨论的问题是严肃的，为此牺牲点个人名节值了。得罪了，王子殿下。
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| 满头青丝 | 萌生褪意 | 黄毛搔更短 | 浑欲不胜簪 | 梦里依稀 | 终成正果 |
以上是对威廉王子头发兴衰连续统的粗放示意，最后一幅说是终成正果，其实并非自然正果，而是人工干预的结果。您兹当是中长期天气预报吧，反正最后肯定是这结果。另外，王子的头发金贵，肯定不舍得自己薅，应该是自然脱落的结果。问，头发掉到第几根，王子就不算一头青丝了呢? 或反之，头发掉到第几根，王子就算秃了呢? 没有人说得清。实际上，谁试图回答这个问题，谁就会掉入陷井。因为这是个悖论，即所谓秃子悖论。
秃子悖论(phalakros paradox)是由古希腊哲学家欧布里德(Eubulides of Miletus)最先提出的，注意，不是写《几何原本》的那个欧几里德（Euclid），而是来自米丽都的欧布里德。欧布里德对悖论很有研究，共发现了七个悖论，其中包括著名的说谎者悖论。有毛不算秃子的俗话是个笑话，剃头匠并不当真。三毛显然是个秃子，多一根头发并不能使他成为非秃子。以三毛为例，秃子悖论可以简述如下，
有三根头发是秃子。 如果三根头发是秃子，那么，有四根头发是秃子。 如果四根头发是秃子，那么，有五根头发是秃子。 不断重复，直至一百万。 有一百万根头发是秃子。
经过一阶谓词逻辑形式化后，以上论证可以用数学归纳法简化如下，
Φα3 ∀n(Φαn → Φαn+1) ∀n(Φαn) 其中，Φα3读作，有三根头发是秃子。 ∀n叫全称量词，n表示任意自然数。 ∀n(Φαn → Φαn+1)读作，对任意数n，如果有n根头发是秃子，那么，有n+1根头发是秃子。 ∀n(Φαn)读作，对任意数n，有n根头发是秃子。
结论显然是荒谬的。当n等于一百万的时候，三毛有一百万根头发。有了一百万根头发，三毛就该改名叫毛孩了。秃子悖论有个等价形式叫沙堆悖论(sorites paradox)，相当于秃子悖论的反向过程，通常简述如下:
前提P: 一堆沙子有一百万颗沙粒。
前提Q: 移除一粒并不能使沙堆变成非沙堆。
不断重复前提Q，即一粒一粒地移除。当只剩一粒沙时，逻辑的结论应该是，它还是沙堆。如果不是，那么，从什么时候起，沙堆变为非沙堆呢?
一般认为，秃子悖论和沙堆悖论产生于模糊的谓词。如，秃子，有多少头发才不算秃子?又如，堆，多大算一堆?在我看来，这里涉及两个问题，人类认知的模糊性和逻辑规律的局限性。
首先，让我们考察人类认知的模糊性。
从人类有自我意识起，外部世界就是人类认知的主要对象。这个对象，用怀特海的话来描述，是一个扩展的连续统，任何两点之间都存在无限多个点，而且它们还处于扩展与流变的过程中；用老子的话来描述，道之为物，惟恍惟惚。惚兮恍兮，其中有象；恍兮惚兮，其中有物。总之，二人的意思大致相同，外部世界混沌不清，变动不居。
那么，人类如何认识或把握这个若恍若惚的连续统呢? 模糊性。人类通过模糊去把握恍惚，或曰，以模糊对模糊，以变化对变化。最典型的例子当数有关颜色的概念。语言是思维的表达形式，在我们的自然语言里，只有七种颜色，赤橙黄绿青蓝紫。然而，展开色谱，你会发现，七色之间还有无限多的颜色。在计算机语言里，赤成为[255,0,0]，黄成为[255,255,0]，其中的数字表明，它比自然语言精准千百倍。尽管如此，对于那个若恍若惚的连续统来说，它仍是粗略的近似。
请允许我引用旧文里的一段话，“晚秋时节，庄子若身临北方山野，定会疑惑，噫，五色眩目，孰知天下之正色邪? 他老人家，由于时代局限，音只知五音，色只辨五色。晚秋的色彩又岂止五色，尽彩虹色谱，也不足以形容秋色的丰富与浓重。然而，经过两千多年，我们的自然语言也只增加了两色，与计算机语言相比，显得如此贫乏苍白。不过，若用[255,0,0][255,255,0]来描绘秋色，抒情就成了技术说明。好在人类富有智慧，无法言传的可以意会。我们姑且将就七色。”①
我想传达的意思是，诗的语言必须是模糊的，过于精准会扼杀我们的想象力。我们的诗写得不如古人，是因为现代文化不待见混沌? 还是因为现代语言过于精准? 亦或二者兼而有之? 无论如何，从直觉上讲，精准的语言不适合写诗，但适合科学研究。
一般认为，科学的语言是精准的，其实，那只是相对而言。以人的概念为例，柏拉图给人下的定义是，人是无羽毛的两足动物。据说有人拿来一只褪了毛的鸡，嘲弄柏拉图，这是人吗? 后改成，人是有理性的动物。与松鼠玩多了，我发现松鼠肯定有理性。对于松鼠来说，斩获的最大化和危险的最小化之间的平衡堪称公理或行为准则，其理性程度不下于人类的P与非P不可同真。它是人吗? 换个方向，植物人连感性都没有，显然没有理性，那是人吗? 若是，那死人呢? 认真抠字眼的话，应该叫死尸。
又如，史书上通常这样描述，鲜卑击败匈奴，匈奴人遂从漠北消失。其实，鲜卑人和匈奴人是两个非常模糊的概念。严格说来，只要有一个匈奴人还在，匈奴人就没有从漠北消失，何况，匈奴败退后，有五十万匈奴人自号鲜卑。对于民主运动来说，什么是人民? 所有的成年人口? 即便如此，去掉一个人并不能使人民变成非人民，让我们逐个排除，当只剩一个人时，人民还存在吗? 如果不存在，那么，从什么时候起，人民不存在呢?
人的概念不可谓不模糊，然而，这一模糊概念却为人类服务了几千年，人类的战术是以模糊对模糊，以变化对变化。关于这一点，维特根斯坦(Ludwig Wittgenstein 1889/04/26 - 1951/04/29)的家族相似性理论(family resemblance)②给出一个非常形象的说明。他认为类概念的成员不必具有该类的所有属性，其属性具有[a,b,c]，[b,c,d]，[c,d,e]式的家族相似关系，即一个成员与其他成员有至少一个或多个共同属性。类的成员不必具有完全一样的属性，他们是靠家族相似性来归属于同一类的。而类没有明确固定的边界，它是随着社会的发展和人类认知能力的提高而不断形成和变化发展的。维特根斯坦的家族相似性是我看到的对类，范畴，或普遍概念的最接近真理的刻划。
随着信息产业的兴起，有一样计算机图像处理技术，morphing，可以为维特根斯坦的家族相似性及秃子悖论提供清晰准确而又形象化的说明。运用morphing，我可以只输入起始和终极两幅图像，省略中间四幅，图像处理软件可以为我们生成中间图像，想要多少，生成多少。差别在于，我的手工影集反应的是真实情况，morphing生成的是计算机模拟。但morphing可以让人脑洞大开，天马行空，如，以小布什起始，以奥巴马告终。
在生成的图像系列里，如果中间步骤足够多的话，就会有一片模糊区域，既非小布什，也非奥巴马，也会有另一片模糊区域，既象小布什，也象奥巴马。我们可以把两极的小布什和奥巴马想象为父母，把中间的过渡想象为孩子，三个孩子面相的似是而非显示的正是维特根斯坦所说的家族相似性。这幅图像的制作者应该是以搞笑为目的，但它在现实生活中却有严肃的实际应用。许多有名的大律师把玩的就是人类认知的模糊性，以及这种模糊性在重要场合给人带来的意志摇摆。我们时常会从影视作品里听到类似下面这样的法庭辩论片段。
律师: 你说你那天看到小布什在案发现场，是吗? 证人: 是的。 律师: 你确定? 证人: 确定。 律师: 你距离案发现场有多远? 证人: 约五十米。 律师: 你的视力是多少? 证人: 0.8。 律师: 你知道那天的能见度是多少吗? 证人: 不知道。 律师: 你确定你看到的是小布什? 证人: 应该没错吧? 律师: 请回答是还是不是。 证人: ......，是。 律师: (出示上图第三人)请你仔细看看这张照片，你看到的是这个人吗? 证人: (犹豫片刻)应该是他。 律师: 你确定是他? 证人: ......，是。 律师: 法官阁下，您听到了，对方证人看到的不是小布什，而是奥巴马。 证人崩溃。
从理论上讲，在模糊的场合，律师与证人各有50%的胜算，但律师训练有素，有备而来。证人往往被打得措手不及，当场表现出犹豫不决。只要证人一犹豫，律师的胜算又多出两成。证人如果当场崩溃，或犯下致命错误，律师就赢定了。秃子悖论困扰人类几千年，这一事实告诉我们，一旦入瓮，谁也逃不脱。如果有人跟你玩上面那种模糊性游戏，而你又没有十足的把握，那么，最佳的防守就是进攻，点穿他的伎俩，并以其人之道，还治其人之身。当然，你毫无准备，反攻的力度可能有限，无论如何，被打倒好过被吓倒，最糟的是自己稀里糊涂地倒下。
其次，让我们考察逻辑规律的局限性。
前面说到，沙堆悖论最后会迫使我们得出一个悖论性的结论，一粒沙是一堆沙。堆就是一个模糊概念，在一阶谓词逻辑里，叫谓词。如何处理谓词的模糊性直接关系到逻辑规律的有效性。有人可能感到不解，逻辑规律正是因为普遍有效才称为逻辑规律，讨论逻辑规律的局限性岂不是蕴涵逻辑规律不是普遍有效?
正是。通常，在类概念的边界足够明晰的情况下，我们可以放心运用逻辑规律，如不矛盾律和排中律，来对情况作出准确判断。如，两个人用酒杯摇骰子，赌点小。骰子有六个面，边界足够清晰。六个骰子最小点数是六点，对方已经摇出六点，己方不可能摇出少于六点，因此，逻辑的结论是，己方肯定赢不了。于是，我们看到，摇出六点的大赌枭面带微笑，开始庆祝胜利了。赌神也是面带微笑，轻轻放下酒杯，不好意思，用力过猛。掀开一看，居然是五点! 怎么回亊? 一个骰子碎了。
这是逻辑规律失效的一个经典亊例。它告诉我们，逻辑规律不是绝对真理，其有效性是有预设条件的。欧氏几何的平行公理预设空间是平直的，去掉这一预设，平行公理不复成立。与此类似，逻辑规律预设类概念的边界足够明晰，在边界模糊的情况下，传统逻辑的不矛盾律不再有效。在这个摇骰子的赌局里，有三个基本预设:
1.有且只有六个骰子。 2.每个骰子有且只有六个面。 3.六个面上按顺序分别标有1，2，3，4，5，6点。
只要这三个预设成立，边界就足够清晰，因而逻辑规律有效。根据不矛盾律，任何一方赢且不赢，这是逻辑矛盾，可以排除。根据排中律，任何一方要么赢，要么不赢，二者必居其一。对方已经摇出六点，逻辑规定，己方必不赢，要想赢，只有推翻基本预设。于是，一个骰子碎了。有且只有六个骰子的预设被推翻了，边界模糊了，不矛盾律也就不再有效了。于是有，己方必不赢却赢。
放眼茫茫世界，混混沌沌，恍恍惚惚。妻子问丈夫，那块布料什么颜色? 丈夫怯怯道，水红? 妻子忿忿道，什么眼神? 分明是浅紫。女子问媒婆，那人多高? 媒婆含糊道，中等个。见过面后，女子恨恨道，什么中等个? 分明是个矬子。半瓶清水，乐观主义者说，半满，悲观主义者说，半空。一串葡萄，吃到者说，甜，吃不到者说，酸。孔乙己说，窃书不算偸，费玉清问，金橘也算橘? 如果一切都清清楚楚，没有半点含糊，我们的生活会少掉很多麻烦，同时也会少掉很多乐趣。
进入科学领域，模糊性得到相当程度的压制，因为科学的一个显著特征就是定量化研究。王羲之说，是日也，天朗气清，惠风和畅。同样的意思，从科学家嘴里出来，大概会变成，那天，晴好无云，能见度15千米，风力2-3级，吹到身上挺爽。律师若跟这种人玩模糊性游戏，恐怕占不到多大便宜。但这并不意味，在这一领域内，逻辑规律的有效性就高枕无忧了。相反，逻辑规律的局限性在更深的层次上表现出来。
两千多年来，没有人敢于公开挑战亚里士多德的形式逻辑，荷兰数学家布劳维尔却不以为然。布劳维尔(Luitzen Egbertus Jan Brouwer 1881/02/27 - 1966/12/02)，见右图，是数学基础方面现代直觉主义的创始人。布劳维尔否定传统逻辑中排中律的普遍有效性，他认为，排中律是从有限事物中概括出来的，但是如果人们忘记排中律的有限来源，将其用于无限的场合，就会犯错误。
圆周率π是无理数，即无限不循环小数。假如有这样一个命题，圆周率π的小数表达式3.1415926...中有20个连续出现的9③。我们称之为命题P。试问，命题P是否成立？亦或，命题P是真，还是假？如此一问就危险了，用庄子的话来说，这是明显的以有涯随无涯，殆已。人类目前的计算手段是有限的。到目前为止，人类尚未发现 (或证明) π的小数表达式中有20个连续出现的9，因而，不能断定命题P成立，也不能断定命题P不成立。
这就导致了对排中律的拒斥，布劳维尔也因此开辟了一个新的领域，数理哲学的直觉主义流派。在这一基础之上，布劳维尔的学生荷兰数学家海汀(Arend Heyting 1898/05/09 - 1980/07/09)去掉传统逻辑中排中律和双重否定律，从而发展出一个直觉主义逻辑的形式系统。波兰逻辑学家亚什可夫斯基(Stanis?aw Ja?kowski 1906/04/22 - 1965/11/16)，美国逻辑学家克里普克(Saul A. Kripke 1940/11/13 - )等人为直觉主义逻辑建立了多种类型的语义模型。可以说，直觉主义逻辑已经树大根深。
最后，让我们回到秃子悖论。
千百年来，形形色色的悖论让许多哲人皓首穷经，终不得其真解。进入近代，数学与形式化逻辑有了长足进步，为悖论研究提供有力的工具，许多解决方案应运而生。概括起来，出现四大类解决方案:
第一类，否定逻辑适用于悖论。
第二类，认为悖论论证合理，逻辑适用，但前提不成立。
第三类，认为悖论论证合理，逻辑适用，但论证无效。
第四类，接受悖论本身，将问题归咎于模糊谓词，认为它们要么不协调，要么空洞。
到目前为止，每一类都不尽人意。它们或遭到严重挑战，或被逼入狭小区间，或被认为空而无当。秃子悖论不但没有得到彻底解决，顺着它的思路，人们反而发现这一悖论的更多变体，如整容悖论④，凌迟悖论⑤，等等。尽管如此，对悖论的讨论还是有意义的，它毕竟代表人类向终极真理的逼近。对于普通人来说，秃子悖论还有一定的实用价值，它至少有助于识破有人在常规论辩中玩弄认知模糊性的伎俩。
从以上讨论中不难看出，我的立场介于第一类和第二类之间。我试图证明，传统逻辑的所谓逻辑规律并非普遍有效，至少，在边界模糊的情况下，不矛盾律失效，在没有边界的情况下，排中律失效。将来，也许还会有更多的局限性被发现。总之，逻辑严谨很重要，但千万不要以为严谨的逻辑万无一失，保持开放的心态也很重要。
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① 《晚秋的色彩》
② Philosophical Investigations §65-71 Basil Blackwell Ltd 1958
③ π的小数表达式问题。 Intuitionistic Logic by Dirk van Dalen, The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Ed. L. Gobble. Blackwell, Oxford. 2001, P224-257
④ 整容悖论
我是我。
在警察的档案里，能找到有关我的详细描述，恕不赘述。
割了双眼皮，我还是我吗? 是。
垫了硅胶，我还是我吗? 是。
拉了皮，我还是我吗? 是。
换了肾，我还是我吗? 是。
......
变了性，我还是我吗? ......?
......
换了大脑，我还是我吗? ......?
至此，我可能会坚持认为，我还是我。吃瓜群众肯定会说，拉倒吧你。
我想进男厕所，保安说，大妈您老走错门了。
亦或，我可能会坚持认为，我早就不是从前的我了。那么，从什么时候开始，我不是我了呢?
另外，是什么决定我是我? 亦或，是谁决定我是我?
⑤ 凌迟悖论
我是我。 在刑部的档案里，能找到有关我的详细描述，恕不赘述。 凌迟过程过于血腥，妇女儿童不宜，恕不细述。大致可以视为整容悖论的逆过程。 要点是最后问，从哪一刀开始，我就不是我了呢?
