与现代科学不同，古人的自然哲学观常常依据于“世界构建在Simple而且纯粹的本质之上”。比如古希腊的世界本源于“水火木土”；古中国文化圈认为“阴阳”描述了客观世界的基本运行规律。在现代科学中，越远离我们显示生活的场景，我们越需要使用复杂并晦涩的概念公式去描述。小到微观的粒子运动，我们要使用量子物理作为工具；大到宏观的天体运动，必须要用相对论来解释。从逻辑上来说，这更make sense。人们最常用“感知”和“类比”的方式来学习新的知识，我们可以很好的理解牛顿的三大定律，但对于远超于日常感知范围的领域，要理解它则需要深厚的数学基础与超强的抽象思维能力。
数学也是如此。这个来自于人类文明诞生之初的学科，依然构建在源自于日常生活的元素之上。数学在本质上是一套自洽的逻辑系统，而非科学本身。而逻辑性才是整个已知宇宙的客观运行规律。正是由于数学本身严格的逻辑性和能够精确描述事物的功用，才最终成为科学研究的主要工具之一。同时，我们学习数学的过程，也是逐步提高逻辑能力和抽象思维能力的过程。
当我们接触新的数学概念之处，比如一个新的数学公式。常见有两种学习方法：
一、硬记公式，然后通过题海战术来掌握这个公式在不同场景中的应用。
二、在以掌握的数学知识结构的基础上，按照逻辑关系推导出这个公式。
诚然，后者能够更深入理解这个概念/公式的来源和本质，能够帮助孩子将新的知识与已有的知识有机的结合成一体，也吻合千百年来数学学科发展的历程。但是，后者对孩子的要求相对较高。不仅仅需要孩子知其然，还要知所以然。孩子不光要具备旺盛的求知欲，还要对基本的数学知识有深刻的认识，同时还要具有成熟的逻辑思维能力。说实话，很难。
所以说，我们看到大部分的初等数学教材、老师、家长在教学过程中只教导学生知其然，也就是熟记与熟练运用数学公式，而不够重视公式的来源与推理过程。不一定是他/她们没有这个能力，实在是普及教育之下，大部分学生不具备达到第二个层次的素质。但是，对于那些奥赛金牌、高考数学满分的孩子们，第二个层次则是取得成绩的必经之路。
以孩子理解有理数加减法法则为例。 如一个正数加上正数，我们可以在现实生活中找到许多例子来解释；一个正数减去正数亦然；如果说是一个负数，简单来说可以使用温度计作为例子，这样加减正数就可以用升温与降温来解释。当我们引入数轴的概念之后，一旦在数轴上确定一个数，无论正负，上述的加法运算实为沿着数轴右移若干位；减法为左移若干位。
而上述的一套理解方法在应用在负数减去负数的时候就完全没有发挥余地。我们不仅仅无法在现实生活中找到例子，也无法将直接在数轴上完美解释这类运算。其实不仅仅是我们，即便是古人也花费了近千年的时间才最后承认了它的合理性。这其中也代表了在漫长的历史跨度间，人们对数学根源的革新 --- 由完全从实际出发的应用学科，发展成为逻辑自洽的运算系统。在这个基本原则下，负数减去负数既然可能存在，就一定要有其适用的运算规则，并且还能将其整合到现有的复合运算中去。于是乎，有些人从代数的特性出发，推导出了合理的运算步骤。
以5-（-3）的计算为例：
同样的情景也会发生在负数乘以负数的理解上。当正数与正数相乘，如3*2。 我们可以解释为2个groups的3相加。甚至负数与正数相乘也可以这样解释。但是我们依然没法合理的解释负数乘以负数的场景。要解释它，我们仍然要从代数的角度出发，同时要求孩子能有一点点抽象思维的能力来理解这个运算规则的来源。
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