今年的大选火药味十足，但这并不是美国历史上最危险的两次选举是1800年Jefferson vs. Burr和1861年Lincoln vs. Douglas。1800年那次，最后是议会经过36次投票选出了美国第3任总统Jefferson，但后来导致了美国历史上最高级别的决斗：现任副总统Burr vs.前任财长Hamilton。Hamilton因此丧生。后来美国通过了第12宪法修正案，把一张选票投两位总统候选人改为投正副总统，这一修改导致了后来的两党政治。而1861年的选举则直接导致了内战。
选举如此重要，那么投票选举就一定公平吗？这一问题要到18世纪才被学者们真正重视。经过三个多世纪和无数知名的学者研究下来，其答案是令人沮丧的，即投票选举的结果与投票方式有关，不同的投票方式会产生不同的投票结果。这一结论看似违背常识，其实它隐含着议会政治和市场经济的真谛。
一. 引言
众所周知，数学是解答物理问题的利器。伽利略被认为是伟大的物理学家而不是数学家，尽管他是比萨大学和帕多瓦大学的数学教授。牛顿无论是在物理和数学家中都是排名最前几位的。其他在物理和数学上均有极大贡献的数学家是欧拉、拉普拉斯、和高斯。
数学在化学、地理、和生物学中也很重要，那数学在政治学中有多重要呢？数学在政治学中是否也有重要的应用呢？答案是，数学在政治学中极为重要。本文简要地描述了数学方法在投票和选举中的重要性和历史。数学方法在投票和选举中的重要性早就为人所知了。法国大革命期间，两位在数学上对投票和选举做出重要贡献的学者是孔多塞(Marquis de Condorcet)和波达(Jean de Charles Borda)。其他对数学在投票和选举中做出重要贡献的学者有爱丽丝梦游仙境的作者道奇逊(Charles Dodgson)、布莱克(Duncan Black)、阿罗(Kenneth Arrow)、凯梅尼(John Kemeny)、布拉姆斯(Steven Brams)。布莱克是一位对数学在投票和选举中应用很在意的经济学家，他把数学工具应用到了投票和选举中，他的著作《委员会和选举的理论》对投票和选举中的数学工具进行了深入分析，对后世的影响很大。阿罗是一位经济学教授，尽管他最初是一位数学家。阿罗因其1951年的博士论文中对任何由个体偏好来确定集体偏好的研究。荣获了1972年的诺贝尔经济学奖。
当人们对一个事件进行数学分析时，人们会对有关现象进行细致地研究，然后通过一些简化的假设构建其数学模型。在今天的社会中，很多事由投票决定，其中包括市、县、州、和联邦政府首长的选举、立法成员选举、政府经济政策制定者的选举；甚至滑冰比赛冠军和年度最佳电影也由投票决定。那什么是投票和选举中最重要的环节呢？选举要求选民从候选人中选出一个或几个中意的候选人，历史上也有过以地区和实物为基础的选举。为了表达投票者的意向，就要有选票。在投票者对候选人做出判断后，就要求有某种机制来定出选举结果。
粗粗看来，好像数学在选举中没什么作用。的确有些关于选举的问题的确与数学无关。比如，罪犯是否有选举权？选举时，选民是否一定要在场，还是能以其他方法投票？现在的选举设备能确保计票的准确性吗？
二. 投票表决
以数学的观点来看，选举中最重要的也是相当出人意料的地方，是对投票表决方式的选择。我们经历过的大多数选举是从两个候选人中选一个。这时，每个选民会投票给他中意的候选人，候选人中得多数票的人当选。多数情况下，该方法最不容易产生争议。但不排除得票相等或几乎相等的情况也会发生，一旦这种情况发生，就是重大新闻。得票完全相等的概率很小，但是当选举结果接近时，就会有很多关于如何计票的不同意见。于是，会有人对当选人的合法性提出质疑。曾有人提出过这样的一个的数学问题：在什么情况下，必须重点选票，这将影响选举结果。
在有三个或三个以上的候选人，一人当选的情况下，表决形式也很重要。典型的表决形式有以下几种：
- 每一票只能选一个候选人。
- 给候选人进行优劣排序，不允许两位候选人的排序相同。
作为一个例子，这是一位投票者给2000年美国总统候选人的排序：
这是一个很有效的符号系统，它显示了这位选民的优劣排序戈尔第一，然后纳德，最后是布什。该系统来自布莱克的著作。该方法即普通选举方法。
3. 给候选人进行优劣排序，允许两位候选人排序相同。
4. 圈出所有中意的候选人，然后按候选人的得票多少排序，最多者当选。
5. 对每位候选人投同意或不同意，然后按同意人数多少排序，最多者当选。
6. 圈掉不中意的候选人，给其余候选人按优劣排序，允许或不允许排序相同。
7. 给所有的候选人按满分100分打分，然后按总分多少排序，最高分者当选。
8. 给中意的候选人按满分100分打分，然后按总分多少排序，最高分者当选。
至今为止，人们只研究过1 – 3。另外，还有很多从不同视角考察了大量的投票人的偏爱后，推出的新的投票表决方式。这里要讨论的是那些即适合于理论研究，又能在现实政治中实现的表决方式。比如，有很多表决方式可以对12个候选人进行排序，但不能保证这种排序会在一个现实的政治体系中被采用。
本文中，我们把注意力集中在这样一种表决方式：对所有候选人进行排序，不允许两位候选人的排序相同。在这个假想情形中，能得出很多来自投票者行为的有趣结论。必须指出，无论选举过程多么简单，投票人总有投错的时候。在选票上画错记号就是例子。在多个候选人的时候，设计一张让所有候选人满意的选票很不容易。选民很可能不知道选票上的大多数候选人，因此不希望所有候选人都列在选票上。为此产生了选票设计的专门法律，不满足该法要求的选票，不得计票。
从数学上看，有很多对选票设计的合理的要求。其中之一就是选票必须设计成和实际计票方式相近，这样就能让选民对自己要做的事情一目了然。
假设投票人必须对选票上的所有候选人按优劣排序，且不允许排序相同，那么怎样的表决方式能得出胜者呢？
三. 决定选举结果的方法
下面是55位选民给出的一个排序结果。
让我们来考察下面五种不同的计票方法：
- 多数原则：以第一位置上的多数胜出。
- 附加投票：如果第一位置上的票数没人获得多数，留下领先的二人，其余的从选票中除去。然后，再对第一轮领先两位候选人做第二次计票。这次计票无需再次投票，而是只记排名第2的票数。当然了，有些投票者会在两次计票的间隔时间内改变其对候选人的看法，这种情况不予考虑。
- 连续附加投票：如果第一位置上的票数没人获得多数，除去第一位置上得票最少的候选人，再对其余候选人投票，重复这一过程，直到选出第一位置上的得票多数者。这一方法被称为哈尔方法(Hare’s method)，澳大利亚和爱尔兰等很多国家采用这一选举方法。
- 波达计数法：给选票上的候选人按人数打分，最高分为总候选人数减一，即3位总候选人，最高分为2，得分最多者当选。按波达计数法，在下面这个例子中，Gore得2分，Nader得1分，布什得0分。
- 孔多塞方法：在任意一对候选人的计票中，当选者为每对都胜者。下面是B胜出的例子，B vs.A ：305 vs.186；B vs.C ：272 vs.105。
如果在55个人投票给5个候选人，就会有出人意料的事情发生，也就存在5不同的表决方式，使得每个候选人都能当选。从这一例子中就能看出，用不同的表决方式会有不同的选举结果。数学的重要性在此不言而喻。
民主社会中，投票和选举一般被认为是选民投出的毋庸置疑的、公正的结果，当选者在某种意义上是选民的选择，也就是说当选人理所当然地源于大多数选民的意愿。但是，上述的例子说明了选举结果对表决方式的依赖性，于是，人们因此对选举的公正性提出了质疑。选举结果有赖于表决方式，尽管在每种计票方式中使用同一张选票。更有甚者是，每种表决方式都有其公正的理由。按今天人类的智慧，很可能给出更多的表决方式。这里有两个现成的例子：一种是，给候选人打一分如果投票人认为该候选人优劣排序高于中值。该选举方式能保证当选人在大多数投票人的优劣排序中，高于中值。但这要求选民给所有候选人排序。另一个有趣的表决方式是由美国心理学家克雷德·库姆斯(Clyde Coombs)提出来的。库姆斯方法要求在新选票上去掉排序最低的候选人，如果第一次投票选不出的多数票的人。重复这一选举过程，直到选出当选人为止。
对很多人来说，在这许多计票方式中，孔多塞方法最有说法力。因为在两两抓对选举中，当选者统统胜出。孔多塞方法也有问题，这一问题是孔多塞本人提出来的。
考虑如下的选举结果，并计算其两两抓对选举结果：
上述选举中，A对B：25胜，14败；B对C：27胜，12败；C对A：26胜，13败。这里没有一个候选人在两两抓对选举中全胜，且无第2次选择的机会。这个例子告诉我们，孔多塞计票法无法无法产生当选人。很多人为了避免孔多塞方法的困难，提出了新的计票方式。两个有名的新方法之一是布莱克方法，就是在没有孔多塞意义上的当选者的时侯，用波达计数排序，靠前者胜出。另一个方法是澳大利亚墨尔本大学教授曼深(John Manson)提出来的，在没有孔多塞意义上的当选者的时侯，用波达计数排序，靠后者被排除。一个有趣的定理是，
如果有一个孔多塞意义上的当选者存在，这两种附加的波达计数法产生的当选者就是孔多塞意义上的当选者，而且该当选者在两种方式下的波达计数相同。若没有孔多塞意义上的当选者时，两种方式产生的当选者，可能会有不同的波达计数。
这就是有名的选举悖论。在一个两两抓对选举中，存在着某种胜出者的循环现象。这只是选举悖论中的一个，现实中存在着许多直观上看似公正的选举也会产生悖论，即无法决定当选人的情形。虽然，附加投票是一种很有吸引力的表决方式，但是，还是有很多情况，投票人会在投完票后改变他们的选举意向。这些都是选举在真实世界中的困难，对此最具说服力的是阿罗的理论，正是阿罗对选举的研究产生了政治经济学中的一个重要的分支 - 社会选择理论。
四. 阿罗的社会选择理论简介
从上面的例子中，我们看到了不同的表决方式会导致不同的选举结果。于是，人们提出了这些问题，有没有一种方法，可以从众多个体意向中得出一个总体意向呢？并且此方法符合公正性、一致性、平等性等一些列人们普遍认可的社会准则呢？同时，我们也会问选举必须遵从怎样的一些准则，才是一个好的选举方法呢？最后，人们还会问，有没有通过对选举准则的比较来判断一个选举的好坏的方法呢？所有这些问题都是合理的，也是一个公平、民主的社会必须回答的。
在阿罗的理论中，他定义了公正性、一致性、传递性等选举必须服从的公理。什么是公正选举必须服从的公理呢？假定下面是一个由9个投票者组成的选举：
显然，A在选举中胜出。现在来看一个所有其他条件都一样，只是有10个选民的选举。我们的问题是，会不会在有10个选民的选举中，胜出者不是A呢？这看似悖理，但这就是一个公正选举所必须服从的公理。阿罗给出了一个公正选举必须具备的一系列公正条件。阿罗在数学上严格地证明了，如果在超过2个候选人的选举中，不存在任何一种选举方法满足所有的公正条件。这是一个令人沮丧的结果，尽管从阿里发表他的论文之后，有无数顶级学者对其进行了质疑，但阿罗定理在技术上完美无缺。于是，在阿罗给出了这一令人吃惊的结果后，很多人修正了阿罗的公正条件，但其最终结果和阿罗相同：不存在一种选举方法满足所有的公正条件。
阿罗定理非常重要，在很多方面甚至超出了定理本身。其中之一就是，阿罗把公理化方法应用在了实际问题上，而不仅仅是在纯数学中。之前的公理化方法都是应用在像欧几里德几何与集合论这样的纯数学领域里的。阿罗在得出他的一系列集体偏好必须满足的公理时，他参考了欧几里德和哥德尔的工作。阿罗在他的理论中强调了公理的独立性和自洽性。阿罗的个体偏好必须满足的公理来自于人们做决定时采取的实际判断准则。很多人曲解了阿罗定理，尽管没有一种得出集体偏好的方法能满足所有个体偏好公理，这并不意味着得出集体偏好的方法没有优劣之分。数学分析的结论是，如果人们对某个条件非常重视，那就该选择某种满足该条件的选举方法。很多情形下，学者们能找出满足该情形的最佳方法。找出特殊情形下的最佳方法，就是找出一种选举方法满足该特殊情形的所需条件。杨(H. Peyton Young)就曾找出过一个公理集合，能满足所有像波达计数法那样的选举方法。
五. 如何评价一个选举体系
有许多不同的评价投票和选举方法的标准。在选择投票和选举方法时，有可能会遇到问题。在选择表决方式中，至少能让平均水平的选民洽当地完成投票。2000年美国大选中，大多数选民只知道三个最看好的候选人：戈尔、布什、纳达。大多数选民心中也有对此三人的优劣排序，且没有两人排序相同。不过，在某些州里，比如纽约州，选票上的总统候选人很多，而爱达华州的选民很可能不了解其中的任何一位，就连纽约州的选民也不一定了解他们。在全美国的选民中，除了戈尔、布什、纳达三人之外，很可能没有多少人了解其他候选人。也就是说，总统大选就不是理想情况。即各州选票上只有全国候选人的一部分是其选民了解的，各州选民只能对部分候选人进行排序。一个重要的问题是，如何设计一个投票表决系统能合理地让所有选票进入表决。在数学上很难解决这个问题，因为在现实世界里，必须把所有的情形全部考虑进去。
另一个例子是美国联邦众议员的选举，数学家会选择一个对各州尽可能公平的比例代表制选举方法。但宪法规定每州至少有一个众议员。很多人口稀少的州，按人口比例连一位众议员也不该有。人们可以找出某种非常合理的按人口比例分配各州联邦众议员人数的方法，但对人口很少的州，其结果一定是该州不应得到一位联邦众议员，这还是违宪。数学和逻辑在遇到现实问题时，很多时候是无能为力的。
研究投票和选举时，数学家们有着不同的出发点。一些人试图把公正概念公式化，找出相应的公理，然后找出某种服从或不服从这些公理的方法。另一些人只是要收集选民们对候选人的优劣排序。当有三个以上有影响的候选人时，进行两两相较的排序会产生某种优劣循环，这时若只考虑最高排序者，反而更易解决问题。
这里存在着一个纯数学的问题：是否有某种演绎方法能找出避免上述种种问题的选择方案呢？更进一步的问题是，是否存在着一种表决方案，可以仅从选票上就能反应出全体选民们对候选人的优劣排序呢？
两位美国学者，经济学家赛特维特(Mark Satterhwaite)和哲学家吉巴德(Allan Gibbard)从数学上独立地证明了一条以他们名字命名的令人沮丧的定理：
不存在任何一种选举方案能够避免上述的因满足公正条件而产生的悖论，除非采用独裁手段。也就是说，那些人们认可的公正条件之间，存在着某种逻辑矛盾。
当今的民主社会，有着广泛的令人信服的基础。其中之一就是如果选民们接受了充分的教育，就会有自己关于候选人的独立见解，于是自由选举就会达致一个稳定有效的社会。民主的一个特征就是社会中的每一个人都能得到有关其他公民意向的可靠信息。于是，民意测验就能通过一部分公民的意向和偏好去有效地左右另一部分公民的意向和偏好。这就很难区分公民的意向是独立产生的，还是受他人影响而来的。民主社会无法阻止民意测验在公民中传播，这种信息有时会让民主社会不稳定。在选择投票和选举方法时，一个合理的标准是让选民尽量少受其他人意向的干扰。
考察不同国家的选举方法也很有益。一个有趣的现象是，采用普选制的国家大多倾向于两党制。其结论是，普选制很难产生多党制。有人认为那是好事，因为这样的国家大多很稳定。也有人认为那里的公民很不幸，因为没机会看到选举的多样性，并参与其中。最初发现普选制与两党制相关性的是法国社会学家杜佛格(Maurice Duverge)，很多对政党结构和选举方法的数学与统计研究也得出了相同的结论。
计算复杂性也是考察选举方法的标准。就是说如果找到了对一个选举来说相对公正的方法，但该方法非常复杂，几乎无法计算选举结果，这就无法在现实中应用。也有人建议通过互联网进行选举，但其诚实性和安全性也是问题。
数学家和其他领域里的专家对选举的研究表明了，纯数学和数学在实际问题中的运用之间存在很大的差别。人们能从数学上得到一个好的选举方法，比如把候选人进行优劣排序，社会学家会告述你当候选人超过5个以上这就是一个不可能完成的任务；政治学者会指出这其中有几个候选人你可能根本没有听说过；而那些管理投票的人会告述你，在真实世界里，收到的很多选票因违规，而未计入选举结果。
数学是为了实践中遇到的问题而产生和发展的，尽管有时候那些源于实际问题的数学公式后来会与当初的问题愈来愈远，但是数学家们还是会从那些解决问题的概念和工具中得到很多启示。同时，世人也会从数学家的研究中对世界的本质看得越来越清晰。也能看出现实生活中的问题与数学及逻辑中的自洽性之间，存在着怎样的不同。这就是对投票和选举进行纯数学意义上的研究的重要性。
六. 上述社会选择理论的意义所在
上述理论是现代民主制在进行社会选择时的一个技术悖论。经济学家詹姆斯·布坎南（James Buchanan），对此给出了解释：现代民主程序的非理性（即逻辑悖论）指出了现代民主精神不会使任何个人的权益最大化。也就是说，现代民主的非理性是由于各个利益集团你争我斗、讨价还价的结果，因此缺乏逻辑上的内在一致，看上去荒唐又悖理。但这才是民主与独裁的最大区别，独裁可以有高度的个人理性，但那只是独裁者的个人利益最大化。真正的自由民主制是不会产生任何个人利益的最大化的制度。
布坎南给出了立宪的基本原则。他认为，人的本性有好有坏，但“在设计政治制度及对宪法确定若干检查和控制条款时，每个人都必须被当作无赖，他的所有行为除了追求私人利益外，别无其他”。生命的本质是自身的生存与繁埴，也就是自私的。这些自私的人一旦在公共领域里掌了权，必然会损公肥私，即使大多数人是大公无私的，但只要有人自私，损公肥私就必然发生。因此，“立宪的一个重要原则就是──掌权者必将滥用政治权力去促进其特殊利益；这是事物和人性的自然趋势，这是目的在于保障个人自由的所有制度特别要防范的”。
布坎南还认为，当对政治行为参与者的道德约束失去了其应有的效力时，民主政府必须限制赤字，以保证政府对税收应负的责任。布坎南还得出这样的结论：“利益集团之间不受约束的政治斗争不可能促进分配公平的种种目标”。社会必须适当的制度安排，来制约利益集团之间的竞争，使利益集团之间的竞争能达成公共利益。
