三
先分析一下前面的归纳法证明。我们先随便选定一个红眼人，下面就是他的思维方式：假如我的眼睛不是红的，那么其余的人就都知道，剩下的群体中一定有红眼人，这样他就可以利用归纳法假设了，而这恰恰是证明的重中之重。以k=1为例，如果没有外乡人的披露，这个假设是不成立的。也就是说，没有外乡人的公开披露，归纳法的证明就有漏洞，红眼人就不可能知道自己眼睛的颜色，就能一直岁月静好。
为此先介绍一下个体知识和群体知识。
个体知识就是单一个体所知的事实，他自己知道这件事，但他不知道别人是否也知道这件事。比如，在皇帝的新衣里，起先每个个体都知道皇帝赤身裸体没穿衣服，但并不知道别人是否知道。因此皇帝没穿衣服这件事就是个体知识。
什么是群体知识呢？就是在某个群体里大家都知道的知识。因为群体有大小，所以群体知识的精确定义依赖于群体的大小。为了明确起见，如果某群体有N个人，他们的群体知识就是N-阶群体知识。所以也可以说，个体知识就是1-阶群体知识，是一种退化情形的群体知识。
假如群体里有两个人，分别是A和B，他们都分别知道某件事P，但又都不知道对方是否也知道P，或者至少有一人不知道对方也知道P，这时P就只是个体知识，还没有形成他们的群体知识。
先看看下面的细节。
(1)：A知道P。
(2): B知道P，B还知道A也知道P。
很明显，B知道的比A知道的更多更深刻。所以我们说A知道的是关于P的1-阶知识。B知道的比A知道的更深一层，是关于P的2-阶知识。如果A还同时也知道B知道P，那么P就成了他们之间的2-阶群体知识了。所以P是由{A,B}组成的2-阶群体知识应该满足以下两个条件：(1): A知道P，B也知道P；(2): A知道B知道P，B也知道A知道P。
如果C不光知道P，他还知道B知道A知道P，则C关于P的知识是3-阶知识。就是说，C知道的比B知道的更进一层。一般说来，在一个N-阶群体中，某个体关于P的知识最多可以到达N-阶。
回到2-阶群体。如何能够让P成为他们的2-阶群体知识呢？比如A对B说：我告诉你一个秘密，就是事件P。这时不管原先知不知道P，现在P都成了他们二人间的2-阶群体知识。因为他们各自都知道了P，并且都知道对方也知道P。当然也可以让第三方当着他们的面公开宣布P，或者以公告形式确保二人都知道，P也就成了他们的2-阶群体知识了。
如果我们弄清楚了(N-1)-阶群体知识，就可以用递归的方式弄清楚N-阶群体知识了。一个N-阶群体有N个个体，也有N个不同的(N-1)-阶子群体。一个知识要成为N-阶群体知识，它必须满足两个条件：它必须是所有N个(N-1)-阶子群体的群体知识，并且每个其他个体都知道它是所有N个(N-1)-阶子群体的群体知识。比如一个3-阶群体有三个个体A，B和C，也有三个2-阶群体{A,B}，{A,C}和{B,C}。由{A,B,C}组成的3-阶群体知识P就必须也是3个二阶子群体的2-阶群体知识，而且每个个体都知道P是3个二阶子群体的2-阶群体知识。比方说，A知道P是{B,C}的2-阶群体知识，B知道P是{A,C}的2-阶群体知识，C 知道P是{A,B}的2-阶群体知识。自然，A更知道P是{A,B}的2-阶群体知识和{A,C}的2-阶群体知识了，等等。
所以我们再重复一下：P是一个N-阶群体知识必须同时满足以下两个条件：（1）它是所有N个(N-1)-阶群体的群体知识，（2）所有的个体都知道（1）。
如何让一个个体知识变成群体知识呢？最简单的方法就是当着整个群体的面公开宣布这一知识，这样就变成了群体知识了。如果不能当众宣布，而只能彼此之间电话告知，而且一次电话只能传递一个信息，如何能够通过次数最少的电话传递使得P成为群体知识，就是一个比较复杂的数学问题了。
群体知识最重要的一点就是每个个体都知道别人也知道。打个通俗一点的比方：在下棋的时候，水平低的棋手都知道自己的意图是什么，而不知道对手的意图是什么，水平高的棋手不光知道自己的意图是什么，而且还知道对手的意图是什么。群体知识的重要性就在于大家都知道大家都知道，个个都是棋逢对手的高手。
四
弄清了个体知识和群体知识，就明白了最初的逻辑问题。外乡人到底有没有传递新的信息？
有！
是的，一开始每个岛民的确都知道岛上至少有99个红眼睛的人，但那都只是个体知识。外乡人传递的却是群体知识。如果外乡人不是当众宣布，而是逐一对各位耳语，就完全不同了。外乡人对岛民逐一耳语说：“你们当中有红眼睛的人。”这只能传递个体知识，没法变成群体知识。当众说出来才构成群体知识，这就是为什么外乡人公开说出的一句话威力如此巨大，杀伤力如此之强。这在皇帝的新衣里也有体现。由于骗子的骗术高明，虽然人人都看见了皇帝的丑态，但都担心可能是自己的问题，因为骗子事先已声明：笨蛋才看不见。只有当一个天真的小孩大声喊出来，个体知识才变成了群体知识。
群体知识的威力，是个体知识无法比拟的！
