函数方程指的是含有一个或多个未知函数的方程；微分方程，积分方程都是一些特例。微分方程来自于变化率，比如，一个容器内某种物质的时间变化率，等于流入的速率减去流出的速率。积分方程也是来自环流量与通量。一个矢量沿着某条路径的环流量就是一个围道积分；它通过某个曲面的通量（单位时间内流经该曲面的净流量）是一个曲面积分。物质守恒定律就是，一个空间内物质的时间变化率，等于内部新增物质的速率，减去流出边界的净速率。微分方程的求解，形成了两个分支：常微分方程、偏微分方程（还有一门数学物理方程）；解法要针对具体类型而定。
我们这里要讨论的是一些初等函数的方程；可以分为两大类。一是含有一个自变量x、一个函数f的方程；也就是出现f(x)与f(g(x)) 的一个关系式 E(f(x), f(g(x))) = 0，其中g(x)为给定的函数。例如，f(mx) = af(x), f(x) + f(a – x) = b2, f(a + x) × f(a – x) = a2 – x2. 对于具有对称性的方程如f(x) = f(-x)，是有无穷多解的：任何偶函数都行。如果是模形式的定义方程，如f((az +b)/(cz + d)) = (cz + d)^k f(z), 可以构造复平面上的双周期函数。最简单的情形式，f(x)被指定为多项式函数，如xP(x – a) = (x – b)P(x), 或者Q(x^k) – x^j Q(x) = G(x) (已知)，可以用因子定理或者待定系数法求解。
一般的解法是做变量代换：令g(x) = t, 解出x用t表示，代入原方程；再继续迭代下去。如果g(x)是重复的，也就是说它自身复合几次后成了恒等函数（I(x) = x），则f(x)可以求出；如果无穷次迭代都不重复，那就要取极限了。例如，在f(x + a) = 1/2 + sqrt[f(x) – f2(x)] （a ≠ 0）中，换x为x + a, 可得出f(x + 2a) = f(x),一个周期函数。
Laplace使用有限差分的方法来求解. 例如，在f(mx) = af(x) 中，令x = u(t), g(x) = mx = u(t + 1); f(x) = v(t), f(g(x)) = v(t+1); 按等比数列求出u(t) = Am^t = x, 以及v(t) = Ba^t = f(x)，再消去参数t, 找出x 与 f(x)的一个关系式。
第二大类是含有两个自由变量x和y、一个未知函数f的方程：包含f(x)、f(y)、以及f(x + y) 或f(xy)、或f(x^2 + y^2)等的一个等式（或不等式）。最基本的是Gauss方程：f(x + y) = f(x) + f(y) 对所有实数x, y成立。用归纳法可以推出，f(x) = f(1)x 对所有有理数x成立；加上连续或单调的条件，可以推出此式对所有实数成立。基于此方程，幂函数、指数函数和对数函数都可以用其特征方程给出：f(xy) = f(x)f(y); f(x + y) = f(x)f(y); f(xy) = f(x) + f(y)。三角函数在复变量表示下，其实就是指数函数的组合，但也可以用其和角公式来作为特征方程；比如，满足 f(x + y) = [f(x) + f(y)]/(1 – f(x)f(y)) 的函数，一定是正切函数。
含有f(x + y)与f(x), f(y)的方程，最简单的解法是求导数，化为微分方程; 如f(x + y) + f(x – y) = f(x)f(y)，可导出f”(x) = Cf(x), C 为常数。如果含有f(xy)，可以先作变量代换x = e^s, y = e^t (x, y > 0)。但是，在数学奥林匹克中，是没有连续、可导的概念的；为了把问题复杂化，就加入复合函数。例如，f(f(m) + f(n)) = m + n 对所有自然数m, n成立；g(x2 + g(y)) = y + g2(x) 对所有实数 x, y成立；(x + y)h(yh(x)) = x2(h(x) + h(y)) 对所有正实数x, y成立。这些函数都是一对一的，通过把里层的函数记号用一个新的变量代换出来，所有的解便可很快得出。
这类方程的一般解法是，把一些特别的x, y值代入，以找出某种规律。如2002年的USAMO第四题，f(x2 – y2) = xf(x) – yf(y) 对所有实数x, y成立；代入x = y, 可得f(0) = 0, y = -x 可得f 为奇函数；y = 0 可得f(x^2) = xf(x)。由此进行无穷次迭代，根据f的连续性可得f(x) = xf(1).
如果推不出函数是一对一的，可以先看看它的值域。如EGMO的一个问题，f(xf(x) + y) = f(y) + x2 对所有有理数x, y；记xf(x) = z，f(z + y) = f(y) + x^2. 换y为y + z, 用归纳法可推出，f(y + nz) = f(y) + nx^2；换y为y – z, 可推出f(y – z) = f(y) – x^2；因此，f(y + mz) = f(y) + mx^2对所有整数m成立。给定y值，可知f可以取到所有的有理数; 再取f(c) = 0, 可推出c=0, f(x) = x对所有x.
又如1999年的IMO第六题，f(x – f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) – 1 对所有实数x, y；记f(0) = a, z = f(y) (在f的值域中)，f(x – z) = f(z) + f(x) + xz – 1; 从而f(z) = (a + 1 – z^2)/2。如果x也在值域中，则有f(x – z) = a – (x – z)^2/2. 如果固定z, 由f(x – z) – f(x) = f(z) + xz – 1可知，任一实数均可表为f的值域中的两数之差：r = f(z) + xz – 1 (取某个x) = f(x-z) – f(x)。在上式zhon1取r = x – z, 则对任何实数r都有f(r) = a – r^2/2. 又，当r在值域中时，f(r) = (a + 1 – r^2)/2，比较可知a = 1。
较难的方程是定义在整数集甚至只是在正整数集上的函数方程。如2002年CMO的一道题：f: N = {0, 1, 2, …} → N，xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x^2 + y^2)。记f(0) = a；取y = 0, 得f(x^2) = a。当（x, y，z）为勾股数时，即x = 2mnk，y = (m^2 – n^2)k (m > n)时， [xf(y) + yf(x)]/(x + y) = a为常数。左边的式子介入f(x)和f(y)之间，比入f(x) ≤a≤f(y)；这表明，严格的不等式不可能成立，f只能是常数。
有的出题者更刁钻了，所给的函数方程根本就没有确定形式的解。如2021年CJMO的Canadian函数：gcd（f(f(x)), f(x + y)）= gcd (x, y)对所有正整数x, y成立；就连f(1)的值都确定不了，只知道它是1或者某个质数。更一般的是数论中的积性函数，f(xy) = f(x)f(y)对所有互质的正整数x, y成立。可以推出f(1) = 1, 其它所有函数值由它在质数幂处的值确定，就无法再进一步了；这种函数无穷多，根本就没由一个确定的表示。问题来了，给定f(2) = 2, 你能推出 f(4)f(13) ≥ [f(7)]2 吗？
函数方程是可以随意杜撰的，能不能解得出来、甚至是有不有解，就成问题了；但这不正是数学研究的目的所在吗？
