在自然界有许多极值(最小值)现象。比如，荷叶上的水珠的表面积最小(在相同体积
下)。光线从境面反射，其真实路径时间最短(费马变分原理)。我们可以用求导数方
法求极值。对于更复杂的极值问题可以用变分法来解。欧拉用变分法解决了“最速
降落线问题”。考虑一物体从高处A点沿AB之间轨迹运动至低处B点。AB之间有一组
轨迹(函数)。问题是哪一个函数使运动时间最短？答案是摆线。用积分来计算该运
动的时间(这个积分称为泛函，它是函数的函数，因为它的自变量是一组函数)。然
后用变分法求泛函极值就得到答案。变分的运算和微分相同，只是微分是真实位移
而变分是虚拟位移。
人们逐渐发现许多真实运动(或状态)总是使某个泛函取最小值。这就是变分原理。
比如赫兹变分原理：在有约束的运动中，真实运动轨迹的曲率最小。如将钢珠放在
球面上，它将沿着球的大圆运动。又如从哈密顿变分原理可以导出拉格朗日方程。
这显示了泛函(积分)与运动微分方程之间的关系。因此，在求得一些物理现象的数
理方程时，先确定它的哈密顿量H或拉格朗日量L。量子理论中，薛氏方程可以由HJE方
程推出；而Higgs 粒子(上帝粒子)的研究也是从 Higgs 场的拉格朗日量L开始。
在计算数学中，求积分的算法比求微分方程的算法稳定。因此人们往往将求解微分
方程转换为求泛函极值问题，然后用积分算法(如有限元法)求泛函极值，进而解出
微分方程。
在许多学科中，比如牛顿力学，流体力学，弹性力学，电动力学，广义相对论(希尔
伯特变分原理)，等等，都存在变分原理。所以人们认为，“自然的行为(或状态)是
最经济的”。
早期人们探讨变分原理是想找到普适的自然规律。依此证明上帝存在以及证明上帝
创造我们这个世界是所有“世界”中最优的。事实上，变分原理只是一些自然规律
(如牛顿定律，能量守恒定律等)的推广，并不适用于任何情况。比如它不能用于不
可逆过程(如热力学)。
人们的思维也存在经济或不经济的问题。比如有几种定律(或理论)描述(或解释)同一
现象，往往最简单的定律(或理论)是正确的。因为它符合思维经济“原则”。历史
上，托勒枚的地球中心说也能解释当时发现的所有天文现象。只是每当发现新的天
文现象，他必须在他的“本轮系统”上加上新的“本轮”来解释新的现象。结果他
的“本轮系统”很复杂。哥白尼的太阳中心说简单明了，只用了几条假设就能解释
当时发现的所有天文现象。当时太阳中心说并不比地球中心说正确。但是人们趋向
于承认太阳中心说，因为它符合思维经济“原则”。爱因斯坦摈弃冗余的“以太”
概念提出相对论，也可以认为符合思维经济“原则”。但是，思维经济“原则”只
是启发式原则，它不能代替逻辑推理等。
