民主社会的最大特征之一，就是公民拥有选举权。在极度民主的国家如瑞士，几乎到了凡事都要投票表决的地步。但如何行使选举权，什么样的选举制度最佳，却存在很大争议。
有人或许会说：这个问题很简单呀，不就是少数服从多数嘛。是的，许多情况下，多数人说了算应该没有太大争议。但在实际中，选举问题和过程往往比较复杂，其结果也往往会出人意料。
我们先看一个例子。假定某个国家正在选举总统，有 A、B、C 三位候选人参加竞选。选举委员会让每位选民对这三位候选人按喜爱程度排序。这样就会出现三种不同的排序，按最喜欢、此喜欢和最不喜欢的排序分别为：1）A，B ，C；2）B，C，A；以及 3）C，A，B。
我们假定，持第一种排序的选民占35%，第二种占45%，第三种占20%。这些数据可总结在下表中：
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| 三种组合 | ||
| 第一类 | 第二类 | 第三类 | |
| 选民比例 | 35% | 45% | 20% |
| 第一选择 | A | B | C |
| 第二选择 | B | C | A |
| 第三选择 | C | A | B |
这三位候选人谁获胜？这要取决于选举规则。
选举规则之一：先一对一对决 （pairwise vote），获得多数选票的胜者进入下一轮，败者遭淘汰。第一轮的胜者再与第三位对决，胜者当选为总统。
假定选举委员会让选民首先在B和C之间投票选择。由于只有第三类选民在B与C之间选择C，那么只得到20%选票的C被淘汰，B胜出、进入下一轮。在下一轮B和A之间的对决中，第一类和第三类选民选择A，只有第二类选民选择B。这样，A将获得55% 的选票，而B获得45%。最终A 胜出，当选总统。
可是，如果选举委员会首先让A与C对决，那么第二类和第三类选民选择C，第一类选民选择A。这样，C因得到65%的选票而胜出，A则被淘汰。在下一轮B和C之间的对决中，C会输掉，最终B当选总统。
还有，如果选举委员会首先让A与B对决，那么第一类和第三类选民选择A，第二类选民选择B。这样，A因得到55%的选票而胜出，B则被淘汰。在下一轮A和C之间的对决中，A会输掉，最终C当选总统。
乖乖，A, B, C 都有可能当选总统！
谁能当选，最终要取决于哪两位候选人先捉对厮杀。这个尴尬结果就是著名的Condorcet Paradox（康氏驳论）。Condorcet 是18世纪法国著名的政治理论家。
选举规则之二：波氏（Borda）累计积分制
另一种常用的规则是波氏累计积分制。该规则最早由18世纪的法国数学家和政治理论家Borda 提出。其具体打分和累计积分的规则如下：每位选民对这三位候选人按喜爱程度（最喜欢、次喜欢和最不喜欢）排序。排在首位的候选人得3分，次位的候选人获得2分，而排在末尾的那位候选人只得1分。这样，我们可以计算每位候选人的累计积分。累计积分最高者获胜。
假定该国家有一千名选民。按照上表提供的数据，那么A，B 和 C 的累计积分分别为：
A: 350 x 3 + 200 x 2 + 450 x 1 = 1,900
B: 450 x 3 + 350 x2 + 200 x 1 = 2,250
C: 200 x 3 + 450 x 2 + 350 x 1 = 1,850
B的积分最多，当选为总统。
康氏驳论的尴尬结果，促使人们对现行投票制度进行反思，并思考如何改进和完善选举制度。可是，到底有没有一种最佳的选举制度呢？
上世纪五十年代，美国著名经济学家阿罗（Kenneth Arrow）对这个问题给予答案。阿罗教授首先提出了最佳选举体系应具备的一些重要特性。这些特性如下：
1）一致性（unanimity）：如果人人都觉得A比B强，那么A应该战胜B。
2）传递性（transitivity）：如果A比B强，且B比C强，那么A就应该比C强。
3）独立性：不管有没有第三者（如C）出现，人们在两者（如A和B）之间的选择不应受到任何影响。
4）没有独裁者：不存在这种由其来左右选举结果的独裁者。
阿罗教授用严格的数学证明，任何选举制度都不可能同时满足以上条件。这个结论就是著名的阿罗不可能性定理（Arrow's Impossibility Theorem）。
例如，在前面提到的两个选举规则中，规则之一违背了传递性。而波氏累计积分制则违背了条件3）即独立性。为什么这样说呢？如果ABC三位都在，我们已经计算过了，B获胜当选为总统。但是，假若C突然退出竞选，只剩下A和B两位候选人。我们给A和B重新打分（2分给首选，1分给次选），并重新计算累计积分：A得分1,550，B得分1,450。这样A就应该当选总统。这个结果违背了条件3--如果C存在，B当选；如果C不存在，A 当选。
在当今社会中，不够完美、甚至不尽人意的选举制度处处存在。就拿奥斯卡奖（或学院奖）投票来说吧。一个电影要最终获得奥斯卡奖，得过两道关口：首先是获得提名，然后才能进入第二轮即最后投票。按现行规则，提名是这样得来的：每位投票者从众多的电影中挑选最喜爱的5部，并按喜爱顺序排列；没有得到任何首选提名的电影被淘汰。这一规则的问题是，如果每位投票者都认为某个电影是第二最佳，那么该电影第一轮就遭淘汰，因为没人推为首选，比较可惜。同时，如果某个电影只有20%的投票者推为首选，但其他80%的人对其嗤之以鼻，那么它也会顺利进入下一轮投票。在下一轮即最终投票中，投票者要从五个候选电影中选出一个。从理论上来讲，有可能出现这样一个尴尬结果：即某个电影只有21%的投票者推选，其他投票者都觉得这是个烂片子；可是，如果其余四部电影在剩下的选票中均摊，那么该电影会最终获奖。
在体育界，由专家或大众投票评选的球队排名榜或体育奖常采用波氏累计积分制。在实际中，有些人为了使自己看好的球队或球员获奖，有意不提或故意打压其最强的竞争对手。这种投票中的不诚实甚至操纵行为是人们不愿看到的。
在娱乐和体育圈出现这种不尽人意的结果，问题可能不会太大；在政界选举中，类似的结局则会产生较大的影响。在一些地方选举中，上面提到的一些选举规则都有应用。即使在最有影响的美国总统大选中，“赢了选民 (popular vote), 但输掉大选”的尴尬结局，历史上就出现过好几次。譬如2000年，Al Gore 对 G.W. Bush。虽然Gore 赢得了多数选票，但小布什赢得了大选，当上了总统。由此可见，设计出个不受争议的选举制度，谈何容易。
中间投票者定理
关于民主选举的另一个重要结论是所谓的中间投票者定理（Median Voter Theorem）。根据该定理，“少数服从多数”原则导致的最终结局比较靠近中间投票者的选择。例如，假定两位总统候选人提出两个不同的政府财政预算方案，一个是赤字5,000亿美元，另一个是赤字10,000亿美元。
哪个会赢呢？我们假定选民心中的理想预算赤字从1,000亿到20,000亿不等，但中间值(median) 为9,500亿。也就是说，一半选民理想的财政赤字在9,500亿美元以下，一半选民理想的财政赤字在9,500亿美元以上。那么，据中间投票者定理，提出10,000亿赤字预算方案（更靠近中间值）的候选人将当选。
中间投票者定理的一个重要含义是，极右或极左的候选人都太可能赢得大选。此外，为了获胜，候选人往往都向中间地带靠拢，迎合中间投票者的选择。也就是说，极左派和极右派虽然叫得最欢，但很可能成为“爷爷不亲，姥姥不爱”的异类。
