【续前】智者的共鸣——波兰数学大师斯坦因豪斯与巴拿赫（上）
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非凡成就
泛函分析是现代数学的一个重要分支，起源于数学物理中的变分问题。通俗地说，泛函分析就是研究“函数的函数”，或者无限维向量空间上的数学分析。泛函分析综合运用分析、代数和几何的观点和方法，研究19世纪以来分析数学、现代物理和工程技术提出的许多问题，其主要研究对象是Banach空间，以及Banach空间上的连续线性算子。1920年代初，测度论和勒贝格积分在其发源地法国，都还被认为是非主流数学。巴拿赫在自己的博士论文中，将定义在这一概念上的函数空间抽象化为一般的Banach空间，是极具前瞻性的。泛函分析的核心工具包括本文开始提到的共鸣定理，以及逆算子定理、闭图像定理和扩展定理。
Banach空间最重要的特例是Hilbert空间，20世纪初希尔伯特和施密特 (E. Schmidt) 在对积分方程的研究中最先注意到这类空间。1927年，冯·诺依曼在巴拿赫和维纳 (N. Wiener) 工作的基础上，提出了Hilbert空间的公理化理论。Hilbert空间具有良好的几何结构，其范数由内积导出，为量子力学提供了强有力的数学工具。说来有趣，斯坦因豪斯的导师是希尔伯特、学生是巴拿赫，他虽然没有以自己的名字命名的空间，却在这两类空间中架起了一座桥梁。斯坦因豪斯与巴拿赫在1927年的第二篇合作文章中证明了共鸣定理，这也是两人在泛函分析中最重要的合作成果。从19世纪中叶开始，在几个不同的数学领域发现了这一定理的特殊情形。
1929年《数学研究》第一卷上最重要的文章是巴拿赫的《关于线性泛函》，文中他研究了线性连续算子，引入了Banach空间的对偶空间和对偶算子的概念，证明了几个重要定理。共鸣定理和扩展定理也曾被奥地利数学家哈恩 (H. Hahn) 独立证明，因此后者称为Hahn-Banach 定理。该定理允许将定义在某个赋范空间子空间上的线性连续泛函扩展到整个空间，表明在每个空间上都定义了 “足够多”的线性连续泛函，从而使得对偶空间有意义。与哈恩的证明相比较，在巴拿赫的证明中只需假设在空间上定义了半范数，特别是引进了对偶空间的重要概念。在这些优美的定理问世半个世纪之后，笔者和同学们有幸在大学课堂上与它们相遇。
巴拿赫等利沃夫数学家们的另一创举是利用存在性方法，而不是传统的构造性方法证明定理，一个典型的例子是Hahn-Banach 定理的证明。德国数学家策梅洛于1908年提出的集合论中的 “选择公理” 是这一方法的重要工具，而在1920年代，选择公理仍然被数学家和哲学家质疑。被称为 “分球怪论” 的Banach-Tarski定理，其原意是给一个反例，结果变成了选择公理的有趣应用。巴拿赫的重要成果还包括：关于一般测度的Banach-Kuratowski定理，关于对偶空间闭单位球弱*紧性的Banach-Alaoglu定理，关于拓扑空间上连续函数的Banach-Stone定理，Banach-Ulam 等距定理，Banach-Mazur博弈等。巴拿赫一生中共发表了59篇文章，其中6篇在他去世后发表。
巴拿赫最伟大的工作是于1932年在《数学专著》第一卷发表了史上第一部关于泛函分析一般理论的专著《线性运算理论》，全书共有12章、256页，献给他的妻子露西亚，一如巴拿赫的既往风格：清晰的语言、简明的定义和证明、丰富的例子。这本书总结了到那时为止有关赋范向量空间的所有成果，它的出版标志着泛函分析已成为一门独立和成熟的数学分支，被译成多种语言出版，巴拿赫使用的符号和术语也被全世界数学家广泛接受。由于利沃夫的大学教授工资较低，因此在这本著作完成之后，巴拿赫大部分时间用于教学和撰写教科书，并以此补贴他在苏格兰咖啡馆的开销。左：《数学研究》第一卷，右：巴拿赫的著作《线性运算理论》。
利沃夫的数学家们参加了在博洛尼亚 (1928 )、苏黎世 (1932 ) 和奥斯陆 (1936 ) 召开的三届国际数学家大会 (ICM)，那时以集合论和点集拓扑学研究为主的华沙学派已经崭露头角，谢尔宾斯基在苏黎世ICM会议上作了大会报告。虽然巴拿赫在博洛尼亚ICM会议上作了专题报告、1932年出版了《线性运算理论》，但是在前两次ICM会议上并没有引起很多关注。在1936 年的奥斯陆ICM会议上，情况发生了戏剧性变化。巴拿赫应邀作了题为《算子理论及其在分析中的意义》的大会报告，讲述了利沃夫学派的工作及今后发展计划，从而赢来人生的高光时刻。在这次会议上，卡茨马兹、奥里奇、马祖尔和肖德尔也应邀作了专题报告。
在整个1930年代，利沃夫的数学家们深入推广了巴拿赫的工作，取得许多重要成果，利沃夫毫无疑问地成为当年泛函分析的世界领导中心，在很多年的数学文献中，巴拿赫的名字出现的频率超过任何其他数学家。然而由于种种原因，他们的很多工作推迟甚至从未发表，同时面临苏联、美国、法国等国同行的强有力竞争。利沃夫学派没有足够的时间从事泛函分析一些新方向的研究，如复数域上的巴拿赫空间、Hilbert空间、巴拿赫代数、无界线性算子、非线性泛函分析等。尽管如此，这并不影响利沃夫学派在数学史上的地位，特别是斯坦因豪斯和隆尼基等人还在概率论等领域留下了深刻印记。图为1936年奥斯陆国际数学家大会合影。
斯坦因豪斯一生发表了170多篇学术论文，他的主要研究领域是三角级数和正交级数的求和问题，1935年和卡茨马兹合作撰写了利沃夫数学家的第二部专著，发表于《数学专著》第六卷。斯坦因豪斯的研究兴趣十分广泛，包括数学在生物学、医学、经济学等不同领域的应用。他是概率论的早期贡献者和联合创始人，1923年他就试图用测度论描述概率，提出了第一个关于抛硬币的测度理论的公理化描述。十年后，苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率论完整的公理化定义。斯坦因豪斯是最早准确定义随机事件“独立性”以及随机变量“均匀分布”的数学家，他还最早给出“策略”的正式定义，被认为是现代博弈论的早期创始人之一。
斯坦因豪斯也是一位杰出的数学教育家，撰写了多本数学文化和普及读物，如《什么是数学，什么不是》《数学快照》等，后者被译成十多种文字。1938年斯坦因豪斯发明了断层扫描仪的前身introwizor，在美国注册专利。在两次世界大战之间，斯坦因豪斯一共指导了七位博士。除了巴拿赫之外，他的弟子拉奇曼 (A. Rajchman) 、肖德尔、奥里奇、伯恩鲍姆 (Z. W. Birnbaum) 和卡茨后来都成为著名数学家。还有一位温洛斯 (S. Weinlös)，是利沃夫学派的年轻一代女数学家，她的博士论文是关于欧几里得几何第一、二、四组公理的独立性，但她的名字却不太为人所知。
至暗岁月
在波兰第二共和国时期，利沃夫是仅次于克拉科夫的波兰第二大学术和文化中心，拥有多所大中学校和教育机构。利沃夫是一个多语言、多种族交融的城市，二战前全城35万人口中，63.5%为波兰人、24%为犹太人、11.3%为鲁塞尼亚人——一个东斯拉夫族群。1939 年巴拿赫当选为波兰数学会主席，正当利沃夫的数学家们集中精力，准备为进一步的研究工作大展宏图之际，一切终止在1939 年 9 月1日。纳粹德国和苏联入侵并瓜分波兰，引发了第二次世界大战，波兰进入20世纪最黑暗的岁月，利沃夫也先后经历了苏联的“乌克兰化”、德国占领，以及波兰人被驱逐的磨难。
1939年9 月 22 日苏联军队占领利沃夫，10月西乌克兰议会决定加入苏联，对利沃夫的各所高等院校重组改名，实行乌克兰化。巴拿赫当选为乌克兰科学院通讯院士，但他必须承诺学习乌克兰语，才能继续担任大学物理和数学系系主任以及从事学术活动，巴拿赫也是唯一担任系主任的波兰人。斯坦因豪斯最初曾考虑逃往匈牙利，但后来决定留在利沃夫，与肖德尔、马祖尔等继续在大学作教授。这段时间苏联数学家经常访问利沃夫，并为《苏格兰书》贡献了几个问题。巴拿赫等人也曾访问过莫斯科、基辅和第比利斯，然而在意识形态的重压下，生活变得极不正常，被捕、监禁和流放随时可能发生。
1941年6月30日夜间，纳粹德国占领利沃夫，屠杀了3000多名波兰人和犹太人，关闭了所有大学，禁止波兰人接受高等教育。由于犹太背景，斯坦因豪斯及家人只好四处躲藏。后来波兰反纳粹抵抗组织向他提供了一名森林护林员的虚假文件，斯坦因豪斯在这一身份的掩护下秘密教书。在没有任何学术资料的情况下，他根据记忆写出了自己知道的全部数学，撰写了大量回忆录，并致力于解决 “公平切蛋糕” 问题。由于与战争进程的可靠消息完全隔绝，斯泰因豪斯在躲藏期间根据当地媒体上发表的零星讣告设计了一种统计方法，依赖于死去士兵在兄弟排行中的相对频率，估计德军在前线的死亡人数。
在德国占领时期，为了维持生计，巴拿赫父子、奥里奇以及许多同事只好到生物学家魏格尔 (Rudolf Weigl) 的斑疹伤寒研究所担任虱子饲养员。这一工作机会保护了许多失业的大学教授，使他们免于被随意逮捕和驱逐到纳粹集中营，2003年魏格尔被以色列政府授予“国际义人”的称号。1944年7月苏军夺回利沃夫后，巴拿赫回到大学参与战后重建。1944年下半年，巴拿赫获得雅盖隆大学数学系系主任的职位，并被认为是波兰教育部长候选人。然而由于战争和贫困，他的健康状况不断恶化。1945 年 1 月巴拿赫被诊断出患有肺癌，年仅53 岁的一代宗师于8 月 31 日与世长辞。
大部分利沃夫数学家都具有犹太血统，战争爆发后他们的命运倍加艰难，时刻处于危险之中。波兰整个知识界遭到了毁灭性打击，十余位利沃夫数学家不幸遇难，包括卡茨马兹、萨克斯、肖德尔、奥尔巴赫等。只有少数利沃夫的活跃成员活着看到了战争结束，同为犹太后裔的乌拉姆和卡茨战前就已经去美国发展，逃过了这场浩劫，在大洋彼岸开拓了一片新天地。1930年代，冯·诺依曼在美国创建了一个科学梦之队，曾力邀巴拿赫加盟。虽然数学是一门跨国界的科学，但巴拿赫并没有动心。他在利沃夫感到宾至如归，有一种可能无法在美国再现的氛围，而这一切在战争到来之时随风而去。
斯泰因豪斯曾指出，在巴拿赫所处的时代，波兰科学家还受到宗教殉道观念的束缚，即知识分子应当远离尘世的欢乐，象苦行僧那样清心寡欲。巴拿赫没有向这种观念屈服，他是一位现实主义者，到了接近玩世不恭的程度。巴拿赫强调自己祖先的山民血统，对那些无所专长的所谓有教养的知识分子持蔑视态度。斯泰因豪斯写道：巴拿赫“最重要的功绩是从此打破了波兰人在精确科学方面的自卑心理，……他把天才的火花与惊人的毅力及热情熔为一体。”1946 年波兰数学会设立了巴拿赫奖，1972 年国际巴拿赫数学中心在华沙成立，自 1992 年起波兰科学院颁发巴拿赫特别奖章。左：1944年巴拿赫在利沃夫，右：巴拿赫的墓碑。
开枝散叶
二战结束后，斯坦因豪斯来到弗罗茨瓦夫大学，先后担任大学和理工学院共同的应用数学系主任，大学数学、物理和化学学院的第一任院长。斯坦因豪斯在大学数学研究所常年举办关于数学应用的研讨会，并担任波兰科学院数学研究所自然和经济应用部门的负责人。他是许多波兰以及国际科学学会和科学院的成员，并数次访问美国多所大学，为波兰数学和科学事业的战后重建殚精竭力。卡茨这样描述自己的导师：“他是两次大战之间在波兰奇迹般开花的数学学派设计师之一，也许比其他任何人更能帮助在二战中化为灰烬的波兰数学重新崛起，并获得新的力量和如今令人尊重的位置。”
二战后斯坦因豪斯在弗罗茨瓦夫 (Wroc?aw) 大学和波兰科学院指导了9名博士，大多从事数理统计、博弈论等应用数学领域的研究。数理统计学家、中国科学院系统科学所第二任所长成平留学波兰期间，就是师从斯坦因豪斯，于1961年获得博士学位。1957年，斯坦因豪斯提出了信号处理中的k-均值 聚类分析方法。1962年，他与 年轻同事迈谢尔斯基 (Jan Mycielski ) 一起提出了博弈论中的确定性公理。1972 年 2 月 25 日，斯坦因豪斯在弗罗茨瓦夫去世，享年95岁。波兰科学院和弗罗茨瓦夫大学将2002年设为 “斯坦因豪斯年” ，以纪念他对波兰和世界科学事业做出的巨大贡献。
虽然天主教在波兰具有强大势力，但斯坦因豪斯却是一位无神论者。他的文化底蕴深厚，精通多门外语。斯坦因豪斯具有极强的幽默感，以机智犀利的格言而闻名，他的一本最著名的波兰语、法语和拉丁语格言文集在他去世后出版。斯坦因豪斯说：“离开现实家园很容易迷失在数学的森林里，但只有少数人知道如何返回。”“数学是精神和物质之间的中介。” 对他来说，数学是现实和生活的一面镜子，他喜欢“玩”数字、集合和曲线，就像诗歌是文学的一面镜子，以及诗人玩单词、短语和音律一样。
《苏格兰书》奇迹般地躲过了二战，巴拿赫去世后，他的妻子露西亚和儿子小斯特凡移居弗罗茨瓦夫。由于深知这本书的重要性，露西亚将《苏格兰书》带到了弗罗茨瓦夫，原版如今由巴拿赫家族保存。露西亚在1954年去世前，一直保持与斯坦因豪斯等数学家的联系。战后斯坦因豪斯凭记忆逐字还原了《苏格兰书》，1956年他将一份打印稿寄给在美国的乌拉姆。乌拉姆将其译成英文，并自费印制了300份，寄给世界各地的朋友和大学。1981年，更新和增订的《苏格兰书》由瑞士Birkhäuser出版公司正式出版。虽然利沃夫学派的实体不复存在，但精神遗产终得传世。左：克拉科夫的巴拿赫纪念碑，右：Birkhäuser出版的《苏格兰书》。
弗罗茨瓦夫位于波兰西南部奥德河 (Odra) 河谷平原，历史上曾先后属于大摩拉维亚公国、波希米亚王国、奥地利、德意志帝国。在长达几百年的德国统治时期，弗罗茨瓦夫名为布雷斯劳 (Breslau)，是当年德国重要的经济和文化中心。根据《波茨坦协定》，二战后德国将11万平方公里领土割让给波兰，弗罗茨瓦夫成为新的波兰边境城市。弗罗茨瓦夫大学建于1702年，几年前笔者曾到那里观光，上图为弗罗茨瓦夫大学建筑，下图为1930年利沃夫学派成员的著名合影，以及巴拿赫与斯坦因豪斯。2022年是巴拿赫诞生130周年、斯泰因豪斯逝世50周年，也是巴拿赫的划时代著作发表90周年，谨以此文纪念两位伟大的数学家，以及回荡在历史中的交响和共鸣。
【注】本文刊登于《数学文化》期刊
相关博文链接：波兰古城弗罗茨瓦夫
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