金碧辉煌的圣殿（5. Perfectly squared）
本篇可以称为“外一篇”，因为它不涉及欧几里得几何的内容，跟公理、定理无关。但它的确是关于几何图形的，内容也相当神奇且美观。所以它跟Morley’s trisector theorem 和John’s theorem一样，在我家的墙壁上占有一席之地。
整整一百年前的1923年，在波兰的University of Lwoów，有两个学习数学的学生Zbigniew Moroń和Wladyslaw Orlicz。他们在课上听教授说起完美矩形（perfect rectangle，或称squared rectangle)的问题。这个问题早就有人提出来，但无人能解决。
问题是这样的：是否存在整数边长m x n的矩形，它能被分割成多个不同大小整数边长的正方形？在这个问题中，“不同大小整数边长”是关键。假如有一个2 x 3的矩形，我们当然能把它分成六个1 x 1的正方形，一点意思都没有。
两个年轻人兴致勃勃地开始研究这个问题，但过了一段时间，他们就得出结论，这恐怕和许多表面上看似简单的数论问题一样，其实是极为困难的。Orlicz放弃了，他后来成了大学教授；Moron（唉，这个词在英文里的意思太不好了！）继续坚持，他一辈子当中学数学老师。在苦苦探索了两年（不算太长）后，他就有了突破。1925年，他用波兰语发表了论文《论将矩形分解为正方形》。而且，他一下子发现了两个这样的长方形，如下图所示：
矩形A 边长为 65x47，是10阶（order，即组成它的正方形的数目）。这个矩形就是在我家墙上挂的那个；矩形B 边长为33x32，它很像正方形，但不是。它只有9阶。Reichert 和 Toepkin 在1940 年证明，9阶是完美矩形的最小阶数。少于9个正方形是不可能拼成一个矩形的。也就是说，Moron在一开始发现的那个33 x 32的矩形，已经是最简单的完美矩形。
在得到一个完美矩形以后，你可以在任何一边添加相同边长的正方形，进而无限扩大矩形。通过交替边继续这个过程，加入的正方形边长可以得到斐波那契数列（Fibonacci sequence）。不论起始的完美长方形的边长是什么，只要交替扩展下去，相邻两项的比值将趋近黄金分割值 0.618... , 这是很有意思的现象。
随后的几年，越来越多的完美矩形被发现了（不是以上面那种以无限交替重复方式得到）。仅一位日本老兄安倍路生（Michio Abe）就发现了600多个。于是有人就问，是否存在完美正方形（perfect square，或squared square）呢，即是否存在整数边长的正方形，它能被分割成多个不同大小整数边长的正方形呢？人们寻找了一段时间，没有答案。于是有人怀疑这样的正方形是不存在的。
在寻找的过程当中，有人提出了一个思路：如果存在任何一个 a x b 的矩形，它不仅是完美矩形，而且可以有两种方式拼成，那么边为 (a+b) x (a+b) 的正方形就一定是完美正方形。
照着这个路子，德国人Roland Sprague去构架和寻找。终于，他在1939年发现，以1885 x 2320 为边长的矩形可以用两种（上图的X 和 X’）方式构成为完美矩形，这样，一个边长为4205（=1885 + 2320）的完美正方形就找到了，它由55个小正方形组成（图Y）。随后，其他人通过类似的方法，又得到了一些更简单的完美正方形。
到了1962年， 荷兰数学家Arie Duijvestijn证明，不存在低于 21 阶的完美正方形。然而这个21阶的完美正方形在哪里呢？又过了16年，到了1978年，这个唯一的阶数最小的正方形，被Duijvestijn 找到了。这是一个 112 × 112 的完美正方形（图A）。此外，人们还找到了三个边长更短（均为110），阶数为22 和23的完美正方形。其中两个还是由Duijvestijn贡献的（即图B和D）。
有人可能会进一步想，如果扩展到3维空间会怎么样呢？一个边长为整数的长方体或正方体，是否可以被边长为整数的不同的大小的正方体完全填充呢？其实，你只要发挥一点儿空间想象力，这个问题的答案出奇地明确！
写到这里，这个几何系列文章就告一段落了。日前，我突然想到，其实我自己也有一个手工几何作品呢，我都几乎忘记了。
这是一个木制的jigsaw puzzle，它是整整20年前，我为儿子周岁做的生日礼物。经过了这么多年，虽然有些磨损，但色彩还是那样的鲜亮。我不知道这个礼物对孩子后来到底产生了什么影响。但我精心设计、做出这样一个东西，也仿佛是给自己的一份礼物。在后来的岁月里，我陪他走过了迥然不同于一般孩子的、跌宕起伏的人生道路。最终，他站立起来，走出家门，以他的方式去独立面对这个世界了。今天，看着这个jigsaw puzzle，想到在3000英里外的那个沉默而忙碌的孩子，我心中百感交集……
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