最近讨论人口动态和移民政策比较热。文学城常有文章说日本700年后将濒临人口灭绝等等，马斯克也来凑热闹，忽然tweet了一句“No humans, no humanity”【1】。然而几乎所有的讨论都欠缺基于数学和经济学的逻辑思维，所以今天想用极简单的数学语言给大家介绍各国的人口动态，教育和移民政策极其后果。如果读者能举一反三，则会有所裨益。
先介绍几个简单的符号：
国家财富（土地和其他生产资料，固有资产，等等）：N元
国家财富的一部分（p）可以分配给人民。
分配给人民的财富：N*p元
国家总人口：M
个人平均财富：q=N*p/M
个人平均财富中只有一部分（r）可以用来培养子女
个人可用于培养子女的资本：z = q*r
培养一个子女所需要的资本：Z
上面的每个字母代表的变量其实都随时间而变化。因为我们只讨论当前，所以可以把它们当作常量。如果你在每个变量后加上时间t，如N(t)，p(t)，M(t)，等等，得到的方程就叫动态方程。这就需要你的举一反三。我们暂时还是把它们当作常量。
这些符号可以帮助我们做一些简单的推断：
1. 如果 z > 2Z，每家平均会培养两个或更多的小孩。
2. 如果 Z
3. 如果 z
第二和第三种情况下，人口就会降低。劳动力就会短缺。如何解决？通常政府会有如下四种方法。前两种方法很简单，但后两种方法需要解释。
1. 增加个人可用于培养子女的资本z，如加拿大的儿童福利牛奶金（Child care benefit）和教育基金（The Registered Education Savings Plan）等，使得 z > 2Z 以增加人口。
2. 减少培养一个子女所需要的资本Z，如免费教育等，目的也是使得 z > 2Z 以增加人口。
3. 接受移民。移民带来两种财富，一是移民在其原所在国已经积累的能随身带来的财富，另一种是移民通过贡献廉价劳动力而产生的财富。两者加起来可以获得的个人平均财富为Q。如果Q > q (当地人的个人平均财富)，则移民于国家有利；如果Q
有的国家有投资移民的政策。如果你随身带来的财富已经远远超过了当地人的个人平均财富q，国家就会因为你的移民而变得更富有。也是因为这个原因，特朗普希望接受挪威来的移民，而不愿接受他嘴里的shithole 国家的移民，因为前者的Q通常远大于后者的Q。同样的道理，日本虽然人口下降，但始终不愿接受穷国的移民或难民。美国过去想通过联合国往日本分派移民，遭到日本政府的强力反对。所以拜登总统气不过，说日本排外【2，3】，但日本回击说拜登罔顾事实，胡说八道【4】。
如果一个国家的经济在蓬勃上升，则廉价劳动力可以产生大量的财富，比较容易达到Q>q，于是国家因为移民而得到经济发展。如果国家的经济停滞不前，则廉价劳动力只能产生有限的财富，国家反而会因为移民而变得贫穷。加拿大近几年限制移民，就是因为经济停滞。如果新移民来找不到工作，根本就不可能创造Q > q。
如果Q > q，则国家会因为移民而变得更富有。
如果Q = q，国民的财富保持现状。
如果Q
如果新移民大多来自穷国，那么新移民和老移民就会有一个重要区别。因为新移民通常比较节俭，他们培养一个子女所需要的资本Z往往低于老移民培养一个子女所需的Z。所以我们定义两个Z：
新移民培养一个子女所需要的资本：（Z_new）
老移民培养一个子女所需要的资本：（Z_old）
有个普遍规律，就是 N_new
如果新移民和老移民的收入相同，则新移民更能培养下一代，会生更多的孩子。
4. 政府无为而治，接受人口从M下降至m。这一政策又有两种后果。如果国家财富（N）的下降慢于人口（M）的下降，q就会上升（过去10万元10个人分，每人只有一万元。如今8万元4个人分，每人反而有2万元）。于是z也上升。如果能达到z > 2Z，则每个家庭又能培养两个以上的子女，社会于是进入一个新的人口平衡。所以大家用不着担心日本人口将在七百年后濒临灭绝。
反之，如果人口下降导致劳动力短缺和大规模资产外流，则国家财富（N）的下降会快于人口（M）的下降，于是q继续下降，社会进入恶性循环，最终富人都走了，只有穷人还在留守。这就是为什么一个稳定的国家必然有一个庞大的中产阶级。如果只有穷人和富人，只要穷人喊一声“打土豪分田地”，富人就开溜了，这样国家的财富就会大起大落。所以邓小平说让一部分人先富起来，但大原则是共同富裕。如果没有共同富裕的大原则，就不会有一个维护国家稳定的中产阶级。殖民地时的海地和種族隔離的南非，都是财富两极分化的极端例子。贫穷的黑人喊一声共同富裕，富有的白人立马卷钱开溜，于是国家立马陷入经济危机。有人说只要大家爱国，富人就不会润到国外去，所以即使没有一个强大的中产阶级，国家也可以保持相对稳定。中国在1949年解放时确实有些爱国的民族资产阶级没有润到国外去。他们的财富和他们的爱国热情，给执政的共产党提供了难得的稳定因素，于是经济发展得以延续。很多爱国知识分子也同样贡献了他们的知识财富，使得科技的发展也得以延续。只可惜大多数共产党的领导人不明白这些简单的道理，最终是恩将仇报。顺便说一句，马斯克家族是南非有名的财阀，但马斯克的父母还住在南非。其中原因有二。其一是他们两都反对原来的种族主义。其二是新的南非政府比共产党政府更通情达理一些，没有通过公私合营巧取豪夺，让资本家生不如死。通情达理的政府通常都有回报。南非于1994年终结种族隔离。那时的人均GDP只有$3461。到2022年，人均GDP已经达到$6766。南非的经济因为新冠病毒而受到重创（奥密克戎变异株就来自南非），但艰难时期已经过去。南非因其经济成功而成为白人种族主义及其走狗的眼中钉。
我觉得上面的讨论已经给大家提供了举一反三的基础。有兴趣的可以自己在每个符号后加上时间t，产生动态方程。几乎所有的比较现实的动态方程都没有解析解。现在大家有计算机，可以学点数值解法，自我提高。
美国的议员们觉得所有的问题都是简单的Yes或No的问题，或者是可以在圣经中可以找到答案的问题【5】。他们和我们这些生活在现实世界里面的芸芸众生是根本不同的。如果你觉得你不可能当美国议员的话，那还是努力自学提高吧。
数学模型都是错的，但数学模型不会含糊其辞，也不会隐瞒真相。数学模型中的假设一目了然，如果假设错了，别人可以看出来。有的数学模型表达道理时强于口头语言更清楚。网上讨论俄乌战争和以哈战争的很多，有很多战争的数学模型，有专业的，也有供消遣的。希望网友们能够用x, y, z 代替那些伤人的语言。
【1】https://twitter.com/elonmusk/status/1787740176695112185
【2】https://www.reuters.com/world/biden-blames-china-japan-indias-economic-woes-xenophobia-2024-05-02/
