人类究竟发明了什么？

有人曾经说过，人类所发明的只不过是一堆记号而已：仅仅是一堆用来表示物体状态的符号。很多人对此不以为然，因为我们在学校里所受到的教育是，必须循规蹈矩。化学元素的符号不能乱写，化学反应的方程式更不能杜撰；数学上的运算符如求和记号只能写成∑；物理中的量纲只能是某个名人名字的首写字母，等等等等。直到1998年我去Carleton大学访问时，遇到了来自美国的Huard教授，他写数式可是随意得很，字母与数字混合着使用。我小心翼翼地问，这能行吗？他说行，只要你说明其含义即可。

从远古的石书竹简，到后来的造纸术，再到今日的打字软件，人类可谓进步神速。我在Carleton写论文时，还不知道怎么用电脑，只是用笔在纸上做演算，整理好之后再交给某个学生去用Latex打出来。现在，我的小女儿已经是大学计算机科学的四年级学生了，她也用Latex写作业，但总是抱怨说命令太多很难记。我也不知道Latex是谁开发的，怎么如此繁琐？发明不是应该更简便的吗？为了把文字从手写体变成印刷体，难道就没有更简便的工具吗？

下面我就按照胡教授的做法，把四个均值不等式的初等证明用键盘上的仅有符号敲出来。这组不等式是高中数学的基础，其证明一般要用到微积分的知识，一般的中学数学老师是不可能证明出来的。在加拿大的九年级，尽管要用来求最优值，但是没有一个数学老师知道怎么求；他们只知道把已有的结论搬出来，让学生们去记住。

给定一组正数a1, a2, …, an，它们的算术平均值定义为Am = Am(a1, a2, …, an) = (a1 + a2 + … + an)/n, 几何平均值为Gm = Gm(a1, a2, …, an) = (a1*a2*…*an)^1/n. 其中，*是普通乘法，/表示除法，^则是幂。我们有结论：Am >=Gm, 等号=当且仅当所有正数ai相等时成立。

我们用数学归纳法来证明。当n=1时，结论是显然的。假设结论对于某个正整数n=k成立。对于n的下一个取值k+1, 我们需要证明结论也成立。

为了简便起见，我们记A = Am(a1, …, ak), G = Gm(a1, …, ak)，k+1 = n, an = a。所要证明的不等式等价于 (kA + a)/n >= [G^k * a]^1/n, 也就是，{[(n-1)A+a]/nG}^n >= a/G. 应用归纳假设A >=G, 只要证明 {1 + [g – 1]/n}^n >=g 即可，其中g = a/G > 0. 进一步做变量代换g – 1 = x > -1, 只要证明 {1 + x/n}^n >= 1 + x 即可。

应用二项式定理，上述不等式左边可以展开为1 + x + nC2*(x/n)^2 + … + nCk * (x/n)^k + … + (x/n)^n. 其中，nCk是二项式系数。如果x >=0, 它显然>=1 + x； 如果 0 > x > -1, 展开式从第三项开始为交错级数，而且各项nCk * (-x/n)^k单调减少，因此总和为正，不等式成立。

要使等式成立，必须有A = G，而且x = 0，由归纳假设可知，a1 = … = ak = G = a. 证毕。

在算术-几何平均值不等式中，如果把各正数换成它们的倒数，就可以得到几何平均大于或等于调和平均。如果引进对数的概念，不等式两边取对数，那就得到了对数函数的凸性，进一步就可以推广到Jensen不等式。

这才是人类的推理之道：从最初的观察，记录事物的形态及含意，找出它们之间的关联或规律，再通过一些公认的准则如归纳、演绎、反推、类比等去加以验证，最后推广到整个领域。规律是人类通过大脑的思考悟出来的，它们不是人类的创造，因为它们是客观存在的，即使没有人类，那些规律还在那里。

不知道人类能不能造出一台机器，它能够模拟人类大脑的思维全过程，能够知错改错、自我完善，还能够与所有物体沟通：不管是有生命的、还是没生命的。可是反过来想一下，如果真有这样的机器，那人活着又还有什么意义？