算子的概念起源于运算。比如，求导运算可以称之为微分算子（在微分方程中），积分变换也可以叫作积分算子。在线性代数中，两个有限维空间之间存在着线性变换，一个空间自身的线性变换也被叫做线性算子。在任何两个空间之间或者从一个空间到它自身，两个对象（向量、子集、函数等等）之间，总可以建立某种对应关系；这种关系可以被称为映射、变换、或者函数。实际上，任何几何图形（或称流形），都可以表示为某种对应或变换。在泛函分析中，泛函（functional）就是把某个空间里的元素对应到实数或者复数。如果一种对应关系还保持某种性质（如线性运算、长度、角度、开集等）不变，那就被称为一个同态；如果它还存在逆变换，那就是一个同构了。
线性算子是定义在线性（向量）空间上的；它保持线性运算。在赋范空间中，有了距离，可以定义算子的连续性；两个Banach空间之间的所有连续线性算子，还可以定义算子范数，形成一个Banach空间。在Hilbert空间中（完备的内积空间），有了内积，可以定义在子空间上的正交投影；这是一个范数为1的线性算子。在Hilbert空间里，线性泛函只有与某个特定向量的内积（Fisher Riesz定理）。
有四条基本定理，被称为泛函分析的四大支柱，揭示了Banach空间上的线性算子（泛函）的基本性质。第一条是开映像定理，一个连续的线性算子，把开集映射为开集，当且仅当它是满射。其证明基于Baire的纲集定理：任何完备的度量空间都是第二纲集，即不能表示为可数个疏集的并集。第二是闭图像定理，一个线性算子是闭的（保持点列收敛性），当且仅当它是连续的。第三是一致有界原理，又称Banach-Steinhaus定理，如果一簇算子在空间中的每一点的范数有上界（依映像空间里的范数），那么，整簇算子依算子范数也有上界。把它用到Hilbert空间里，可以得到Lax-Milgram定理，即共轭双线性函数的表示及线性算子的估计。
第四条是Hahn-Banach定理，它允许子空间上的有界线性泛函延拓到整个空间上，并且表明，在赋范空间中，存在足够多的连续线性泛函；它们形成了两个共轭空间，具有一些十分有趣的性质；还可以定义共轭算子以及弱收敛性。Hahn-Banach定理，在几何上则表现为凸集的分离定理：点与凸集、凸集与凸集之间都可以用一个超平面分离。由此，凸集上的凸规划问题，便得到圆满解决，这就是Kuhn-Tucker的定理。
线性算子的谱理论来自于线性代数中矩阵特征值的推广。在递推数列、微分和积分方程中，也有特征值的概念，用于给出基本解。在量子力学中，能量算子的特征值，对应着该系统束缚态下的能级；而光谱只是某个算子的特征的分布。另一方面，通过特征值或者更一般的谱系的分布，我们可以了解算子本身的结构，进而推知空间本身的结构。
量子力学的基本方程是Schrodinger 方程，其中涉及一个特殊的Hamilton能量算子，作用在波函数上（它的模的平方等于概率密度）。方程本身是Schrodinger根据能量守恒推出来的，但也可以用概率论的基本公理（归一性、可数并、过程独立性）推导出来。为了找出方程的部分解，可以用分离变量的方法，却没有任意函数给出全部解。在泛函分析中，定义全体波函数集上的一个变换，从初始时刻的波函数到任意时刻的波函数；所有这些变换形成一个单参数的酉群。按照Stone定理，可以推知Hamilton能量算子是一个自伴算子，并且还能给出解的表示。
在Feynman积分中，他把所有概率幅度按照所有连接起始状态（0，x0）与任一状态（t, x）的连续路径相加，以得到Schrodinger的解。在每一条路径上，概率幅度与位相成正比，而比例系数与路径无关。这种连续加法当然是没有任何收敛性的，只能用多边形路径去逼近。通过调整路径比例系数，应用概率幅度的叠加原理，便可推出一个类似黎曼积分的表达式，它满足Schrodinger的方程。
