特殊的霍尔电压公式：
普通的电压公式：
- 对比霍尔电压和普通电压， 发现电阻R与磁场B对
- 应。而这个磁场B，可以是：
- 1. 外加的磁场B：霍尔效应
- 2.电流和磁矩之间自旋轨道耦合的相互作用（材料本
- 身的磁性）：反常霍尔效应
- 3.加上极强磁场，霍尔电阻出现量子化平台：整数量
- 子霍尔效应。
- 4.磁场足够强，霍尔电阻出现分数平台：分数量子霍
- 尔效应。
- 5.特殊材料制成的拓扑绝缘体，边缘导电与自旋相
- 关：量子自旋霍尔效应。
- 6.量子自旋霍尔系统的一个自旋方向被抑制，通过铁
- 磁性产生：量子反常霍尔效应。
其中，量子自旋霍尔效应是转折点：
量子反常霍尔效应的发现
（1）反常霍尔效应
1880年，霍尔在研究磁性金属的霍尔效应时发现，即使不加外磁场也可以观测到霍尔效应，这种零磁场中的霍尔效应就是反常霍尔效应。100多年来，对反常霍尔效应的解释一直困扰着物理学家。直到近10多年，人们才逐渐认识到反常霍尔效应与电子自旋-轨道耦合及电子结构的贝里（Berry）相位有关（在时空阶梯理论中，这里是暗能量），并提出反常霍尔效应的“本征机制”。在具有自旋-轨道耦合并破坏时间反演对称性的材料中，特殊电子结构会导致动量空间中非零贝里相位的出现，并改变了电子的运动方程，从而导致反常霍尔效应的出现。随着认识的升华，人们进而提出：反常霍尔效应是否能像霍尔效应那样，有对应的量子化版本，这又成为人们新的探索目标。
（2）量子自旋霍尔效应的发现
与量子霍尔效应一样，量子自旋霍尔效应也是在二维体系中，由边缘态引起的量子效应。不同之处在于，量子自旋霍尔效应是由两组自旋方向相反，运行方向也相反的边缘态组成，并且不需要外加磁场。因为两组边缘态上的电子是沿着相反方向运动的，所以净电荷电流为零，不存在霍尔电导。但是，由于它们具有相反的自旋方向，而形成了量子化的自旋霍尔电导 （） 称为量子自旋霍尔效应。
2006年，美籍华裔物理学家、斯坦福大学张首晟教授最先提岀拓扑绝缘体概念，这是发现量子自旋霍尔效应的基础。拓扑绝缘体是一种新的物质态，介于“金属”和“绝缘体”之间。其内部是绝缘体，表面是能导电的金属。具有如此特殊的性质，源于其内部的电子能带是反转的，具有非平凡的拓扑结构（这里就是出现了膨胀的暗能量，所谓的不平凡，就是有了物质-暗物质-暗能量结构）。而普通绝缘体的电子能带不翻转，具有平凡的拓扑结构。真空的拓扑结构也是平凡的（真空内只有暗物质，没有暗能量，所以还是平凡的。）。这样，维拓扑绝缘体各表面的金属“表面态”（二维的拓扑绝缘体边缘处形成“边缘态”（这里的边缘态的构成，正是因为暗能量的旋转，造成的边缘态。）），就用以连接不同拓扑结构的真空和拓扑绝缘体。这种金属“表面态” 与普通材料中的导电金属态完全不同，它受到材料拓扑性质的保护，而不易被破坏，因此非常稳定，具有极强的抗散射抗干扰能力。另外，拓扑绝缘体可通过材料设计而实现，这使实验研究成为可能。张首晟研究组通过理论计算，提出了第一个二维拓扑绝缘体—磷化汞/磷化镉半导体量子阱结构，并预言通过调节HgTe的厚度就可以实 现量子自旋霍尔效应。
2007年，德国伍尔兹堡大学的研究组在HgTe/ CdTe量子阱结构中，成功地观测到这种特殊边缘态 的量子效应，从而在实验上证实了张首晟的预言. 这一工作引起了很大的反响,2007年被《科学》杂志评选为当年的十大科技进展之一，2010年获得欧洲物理奖，2012年获得美国物理学会巴克利奖。
（3）量子反常霍尔效应
为了实现反常霍尔效应，自1988年开始就不断有理论物理学家提出各种方案，然而在实验上没有取得任何重要进展。2010年，我国理论物理学家方忠、戴希等与张首晟教授合作提出，磁性掺杂的三维拓扑绝缘体可能是实现量子化反常霍尔效应的最佳体系。当三维拓扑绝缘体的厚度降低到几个nm时（头发丝粗细的1/10000）,就会过渡成二维拓扑绝缘体，利用二维拓扑绝缘体的边缘态，并引入磁性就能实现量子反常霍尔效应。然而，物理学归根到底是一门实验科学，理论预言是否正确，需要实验的证明。于是，从实验上发现量子反常霍尔效应就成为许多科学家的奋斗目标。
量子反常霍尔效应意味着在零磁场中，霍尔电阻跳变到约258000Ω的量子电阻值。要实现这一不可思议的量子现象，需要实验样品必须同时满足4项非常苛刻的条件：（1）物品必须是二维系统（薄膜），而具有导电的一维边缘态；（2）样品需要处在绝缘相，从而对导电没有任何贡献；（3）样品需要存在铁磁序，从而存在反常霍尔效应；（4）样品需要有非平凡的拓扑性质，从而使电子能带是反转的。
当前，制备这样的实验样品多用分子束外延（MBE）方法，这是一种在单晶基片上生长高质量薄膜材料的新技术。在超高真空条件下分别加热装有各种化学元素的喷射炉，蒸发出的分子束或原子束将会直接喷射到适当温度的单晶基片上，再经表面吸附迁移后，就可使分子或原子按晶体排列，层层 地“长”在基片上，形成薄膜。薛其坤院士及其领导的团队，首先利用分子束外延技术，在硅、碳化硅和蓝宝石等单晶衬底上，制备岀了原子级平整的高质量三维拓扑绝缘体薄膜，并将其制备成输运器件；然后在30 mK的极低温环境下，对其磁阻和反常霍尔效应进行了精密测量。通过4年的不懈努力，测量超过1 000个样品， 终于发现在一定的外加栅极电压范围内，此材料在零磁场中的反常霍尔电阻达到了量子电阻的数值，并形成了一个平台，同时纵向电阻急剧降低并趋近于零，这是量子化反常霍尔效应的特征性行为。此结果投稿到《科学》杂志后,3位审稿人均给予极高的评价，认为此项工作毫无疑问地在实验上实现了量子反常霍尔效应，结束了多年来人们对这一量子现象的探寻，是一个里程碑式的工作。薛其坤团队的成功，必将激发人们集中在两个方向上，对量子反常霍尔效应作更深入的研究：（1）何提高量子反常霍尔效应的温度(当前，实验温度为十几mK量级)；（2）薛其坤实验观测到的量子反常霍尔电阻25800Ω；
