榕城老应
芝诺的阿基里斯与乌龟赛跑的故事很有名，在书刊网上多有介绍，有些娱乐节目还依此为题，但大多解答都不得要领，没有正面回应悖论的挑战。
芝诺（Zeno 490BC-435BC）生活在古希腊，比孔子略迟，比庄子要早。他的阿基里斯与乌龟的悖论说：跑得最快的阿基里斯永远追不上跑得慢的乌龟。因为他首先必须跑到乌龟的起跑点，这时候乌龟已经往前爬了一段路。当他赶上这段路时，乌龟又向前进了一些。如此等等，无论什么时候阿基里斯追到了乌龟当前的位置，乌龟在这段时间内又向前爬拉开了距离，这个差距虽然在缩小但一直存在，在这无穷追赶过程中不会是零。因此跑得慢的乌龟永远领先，无法被超越。
有的人嗤之以鼻，这是谬论！悖论本来指的就是推理的结论与常识相矛盾，却不能发现逻辑上的漏洞。同样似是而非的东西，如果一眼就能看得穿，不需要什么脑筋，叫“胡搅蛮缠”。如果让人反复思考仍不得其解，那就上了档次，叫“悖论”。悖论的价值在于促进人们思考。它的解决往往带来的观念的突破和新的理论建立。
中学读物里把阿基里斯与乌龟的距离除这两者的速度差，算出了什么时候阿基里斯追上乌龟。这点算术知识芝诺同时代人也懂，但这不叫破解悖论。一个悖论有两个对立面，一边是常识，一边是推理。计算只是重申与推理相矛盾的常识是对的。矛盾依然存在。这时破解就要直接面对悖论的逻辑推理，而不是用其他途径的答案来说明推理的荒谬。
第一个企图解答是近百年后的亚里士多德（Aristotle 384 BC−322 BC），他解释：“认为在运动中领先的东西不能被追上这个想法是错误的。因为在它领先的时间内是不能被赶上的，但是，如果芝诺允许它能越过所规定的有限的距离的话，那么它也是可以被赶上的。” 这句话只是作一个物理学的陈述，摇摆在当时两个冲突的无穷观念中，并没有正面回答芝诺提出的难题。
第二个是公元前212年阿基米德（Archimedes），他把每次追赶的路程相加起来计算阿基里斯和乌龟到底跑了多远。这问题归结为无穷级数求和的问题。他用个巧妙的方法算出等比级数的和。说明阿基里斯和乌龟的速度如果成比例的话，整个追赶过程是在有限的长度中。
在这种特例之外的情况，一直到了十九世纪柯西关于收敛性研究后才有了明确的答案。这结果是按照阿基米德的思路和收敛性研究的结果。结论是按照阿基里斯比乌龟快的条件，可能有两种结果。如果这个追赶的路程相加起来的无穷级数求和收敛，这个过程是在有限的长度中，否则不是有限的。
可以编出一个不收敛的例子如下：乌龟领先阿基里斯1尺，当阿基里斯赶上这1尺时，乌龟又爬了1/2尺，阿基里斯赶上这1/2尺时，乌龟又爬了1/3尺，阿基里斯赶上这1/n尺时，乌龟又爬了1/(n+1)尺，如此等等。阿基里斯确实比乌龟快，它们的距离每次都在缩短，但确实永远也追不上。这个赋值的故事是调和级数求和，结果是无穷大。这时芝诺的推理与事实相符了，悖论成了佯谬，要纠正的是常识而不是推理。我们一般不再考虑这种情况了，专注于有争议的收敛情况的解释。
到了这里，大家都觉得这个悖论已经被破解了。其实不然。阿基米德的思路确实是沿着芝诺追赶过程的逻辑走。把这个过程描写成无穷级数求和的问题，给出整个追赶是在多长的范围内。芝诺的逻辑说这个差距在追赶的过程中永远存在，不会是零，所以不会被超越。对应着无穷级数求和是一个逼近的过程，它可以无限逼近它的极限值，但永远不会达到。因此阿基米德和现代级数收敛计算的结果只是给出了悖论常识一方可能被超越时的边界数值，而没有跨过这永远不会为零的间隙。
在收敛的情况下，阿基里斯事实上能够达到这个极限点从而超越，这与无穷级数求和只能无限逼近它的极限值仍然构成悖论矛盾的双方。
到底阿基里斯能不能追上乌龟，等价于这无穷级数求和能不能等于它的极限值。这就要涉及到数学上实无穷和潜无穷的哲学争论了。
实无穷认为无穷是可以达到的，当阿基里斯追上乌龟时便是这种情况，这时无穷级数的和等于它的极限值。潜无穷认为无穷是一个过程，不是实在的东西。在这个观点下，无穷级数求和只能不断逼近它的极限，而不是等于它。这个观点导致阿基里斯永远陷在追赶乌龟的过程中。
毕达哥拉斯学派主张1>0.9999... 是赞成潜无穷观点。用实无穷虽然可以解释许多结果，但是它的使用产生出很多问题，很多人并不支持。在他以后的亚里士多德倾向潜无穷但在阿基里斯与乌龟的问题上含糊其辞，这时大家对无穷都很头疼，以后的数学家从欧几里德开始，都尽量回避无穷的问题，专注于谈得清的有限问题。一直到牛顿和莱布尼茨的微积分，又采用了实无穷的概念，将导数表示为两个无穷小之比，积分为许多无穷小的加权和，得出丰硕的成果。实无穷的思想回潮和滥用，又产生了很多问题和混乱，以致贝克莱把这些矛盾组合成悖论来反对微积分，导致数学第二次危机。到了魏尔斯特拉斯，他驱逐了实无穷，由潜无穷的概念发展出严谨的极限概念，重铸分析的基础。百多年后，康托尔又在集合论中将实无穷请回来。在20世纪60年代，鲁滨逊又把无穷小量请了回来，从而建立了非标准分析。数学的直觉主义学派如今仍然反对实无穷。以致希尔伯特感叹说：“无穷是一个永恒的谜！”
芝诺的阿基里斯与乌龟的悖论的破解，经过两千多年兜了一圈又回到实无穷与潜无穷的争论中去。今日人们实用主义地在不同场合分别使用这两种概念。这当然是一种未澄清的矛盾状态。到现在，中外数学，物理和哲学期刊里还不时有着讨论实无穷，潜无穷及芝诺悖论的论文。争论仍然没有结束。
