数论中最重要的概念是质数（又叫素数）。质数就是在整数范围里不能再分解成两个更小正整数之积的整数，也可以说，质数是整数运算的“原子”。研究质数的性质是如此之困难，以致于任何关于质数的问题，我们几乎都无法回答。一些著名的问题有：哥德巴赫猜想（1742年提出），孪生素数问题，Fermat质数问题，算术级数中的质数分布问题，abc猜想，等等，都是对人类智力的挑战。
陈景润在1966年宣布证明了“1 + 2“，即一个大偶数可以表为一个质数及一个不超过二个质数的乘积之和；详细证明在1973年才发表出来。此前在1962年，潘承洞证明了 “1 + 5”, 王元证明了 ”1 + 4“。在1965年，维偌格拉朵夫、Bombieri等人证明了 ”1 + 3“。
在孪生素数方面，2013年5月，张益唐作出了“里程碑式的重要工作”。他在不依赖未经证明的猜测的前提下，证明了存在无穷多对素数，其中每一对素数的间隔都小于7000万。这离根本的孪生素数猜想还差得很远：要证明存在无穷多个素数p, 使得 p + 2是素数。
为什么质数的研究如此困难？因为它的分布没有规律、没有确定的表示。数论研究使用的有筛法、三角和方法、圆法、代数曲线等。华罗庚在1975年设计了一种用不定方程的解数来表示哥德巴赫的方法。但用三角和式表示的同余式限制条件难于估计，因此做不到最后的结果，尽管他的学生那吉生做了很大的努力。
筛法似乎也到头了。它原本是Eratosthenes在公元前200年左右提出的：把2到某个数（如100）的所有数列出来，留下2，划掉所有其它2的倍数；留下3，划掉所有其它3的倍数；再留下下一个尚未划掉的数（现在是5），划掉其后它的所有倍数；这样一直进行到最后一个数。所留下的就都是质数。近代数论学家们把它写成了筛函数的形式：满足一些不等式及同余式的正整数的个数。不定方程的解数可以用三角和的积分来表示；只要通过计算证明个数大于零，问题就解决了。
最早关于“质数的个数无穷”的证明是Euclid在公元前300年给出的，使用的是反证法。要判定一个数N是不是质数，那是一件很困难的事。最原始的办法是平方根方法：用不超过N的平方根的所有质数依次去除N，如果N能被某个质数整除，那它就不是质数（是合数）；如果它不能被所有这些质数除尽，它就是一个质数。整除性的判定，可以用同余式（Gauss在1796年提出），化为等式。基于同余式，Wilson定理给出了一个数是质数的充分必要条件： (p – 1)! + 1 = 0 (modp)，接着，同余式可以用三角和式表出。只是阶乘太大，我用无穷级数中的变量代换把它变小了，以便于估计。
在18世纪，欧拉通过Zeta函数来研究质数，得出了质数分布的初步估计：不大于X的质数个数Pi(X)与X之比，当X无限增大时，趋向于零。1848年，契比雪夫证明了Pi(X)与X/LnX差不多大。1896年，Hadamard用复变函数的积分证明了质数的分布定理。1916年，Hardy和Littlewood创造的圆法，可以估计不定方程的解数。1937年，维诺格拉朵夫创造了三角和方法，证明了三素数定理：每一个充分大的奇数都可以表示为三个素数之和。这一切成就了解析数论。
另一方面，代数数论研究代数数，亦即整系数多项式的根。19世纪中叶，Ernst Edward Kummer在研究Fermat大定理时，引进了理想数的概念。质数也能分解为理想数的乘积—这一揭示远比证明Fermat大定理本身要重要得多。Fermat大定理说的是，不定方程x^n + y^n = z^n当n > 2时没有正整数解；此结论由英国数学家Andrew John Wiles在1993年证明，使用的是代数几何的方法。1980年我刚上大学时还在用几何方法去找有理根呢，没想到代数与几何可以完美地结合。
多年前，在2013年11月7日，我把解析数论、代数数论、代数几何、Feynman积分都结合了在一起，形成了自创的无穷小分析，彻底揭开了质数的奥秘，还有物质的秘密；从此有了Mattermatics这门学科。
