近代数学如参天大树,已是分支众多,枝繁叶茂。在这棵苍劲的大树上悬挂着不胜其数的数学难题。其中最耀眼夺目的是四色地图问题、费尔马大定理和哥德巴赫猜想。它们被称为近代三大数学难题。
300多年以来,费尔马大定理使世界上许多著名数学家殚精竭虑,有的甚至耗尽了毕生精力。费尔马大定理神秘的面纱终于在1995年揭开,被43岁的英国数学家维尔斯一举证明。这被认为是“20世纪最重大的数学成就”。
费尔马大定理的由来
故事涉及到两位相
隔1400年的数学家
,一位是古希腊的丢番
图,一位是法国的费尔
马。丢番图活动于公元
250年前后。
1637 年,30来岁的费尔马
在读丢番图的名著《算
术》的法文译本时,他
在书中关于不定方程 x^2+ y^2 =z^2 的全部正整数解这页的
空白处用拉丁文写道:
“任何一个数的立方,
不能分成两个数的立方
之和;任何一个数的四
次方,不能分成两个数
的四次方之和,一般来
说, 不可能将一个高于二次
的幂分成两个同次的幂
之和。我已发现了这个
断语的美妙证法,可惜
这里的空白地方太小,
写不下。”
费尔马去世后,人
们在整理他的遗物时发
现了这段写在书眉上的
话。1670年,他的
儿子发表了费尔马的这
一部分页端笔记,大家
才知道这一问题。后来
,人们就把这一论断称
为费尔马大定理。用数
学语言来表达就是:形
如x^n+y^n=z
^n的方程,当n大于
2时没有正整数解。
费尔马是一位业余
数学爱好者,被誉为“
业余数学家之王”。1
601年,他出生在法
国南部图卢兹附近一位
皮革商人的家庭。童年
时期是在家里受的教育
。长大以后,父亲送他
在大学学法律,毕业后
当了一名律师。从16
48年起,担任图卢兹
市议会议员。
他酷爱数学,把自
己所有的业余时间都用
于研究数学和物理。由
于他思维敏捷,记忆力
强,又具备研究数学所
必须的顽强精神,所以
,获得了丰硕的成果,
使他跻身于17世纪大
数学家之列。
艰难的探索
起初,数学家想重
新找到费尔马没有写出
来的那个“美妙证法”
,但是谁也没有成功。
著名数学家欧拉用无限
下推法证明了方程 x^3+y^3=z^
3和x^4+y^4=
z^4不可能有正整数
解。
因为任何一个大于
2的整数,如果不是4
的倍数,就一定是某一
奇素数或它的倍数。因
此,只要能证明n=4
以及n是任一奇素数时
,方程都没有正整数解
,费尔马大定理就完全
证明了。n=4的情形
已经证明过,所以,问
题就集中在证明n等于
奇素数的情形了。
在欧拉证明了 n= 3, n= 4以后, 1823年和 1826年勒让德和狄
利克雷各自独立证明了
n= 5的情形, 1839年拉梅证明了
n= 7的情形。就这样,一
个一个奇素数证下去的
长征便开始了。
其中,德国数学家
库默尔作出了重要贡献
。他用近世代数的方法
,引入了自己发明的“
理想数”和“分圆数”
的概念,指出费尔马大
定理只可能在n等于某
些叫非正则素数的值时
,才有可能不正确,所
以只需对这些数进行研
究。这样的数,在10
0以内,只有37、5
9、67三个。他还具
体证明了当 n= 37、59、67时,
方程x^n+y^n=
z^n是不可能有正整
数解的。这就把费尔马
大定理一下推进到n在
100以内都是成立的
。库默尔“成批地”证
明了定理的成立,人们
视之为一次重大突破。
1857年,他获得巴
黎科学院的金质奖章。
这一“长征”式的
证法,虽然不断地刷新
着记录,如 1992年更进到n=
1000000,但这
不等于定理被证明。看
来,需要另辟蹊径。
10万马克奖给谁
从费尔马时代起,
巴黎科学院曾先后两次
提供奖章和奖金,奖励
证明费尔马大定理的人
,布鲁塞尔科学院也悬
赏重金,但都无结果。
1908年,德国数学
家佛尔夫斯克尔逝世的
时候,将他的10万马
克赠给了德国哥庭根科
学会,作为费尔马大定
理的解答奖金。
哥庭根科学会宣布
,奖金在100年内有
效。哥庭根科学会不负
责审查稿件。
10万马克在当时
是一笔很大的财富,而
费尔马大定理又是小学
生都能听懂题意的问题
。于是,不仅专搞数学
这一行的人,就连很多
工程师、牧师、教师、
学生、银行职员、政府
官吏和一般市民,都在
钻研这个问题。在很短
时间内,各种刊物公布
的证明就有上千个之多
。
当时,德国有个名
叫《数学和物理文献实
录》的杂志,自愿对这
方面的论文进行鉴定,
到 1911年初为止,共
审查了111个“证明
”,全都是错的。后来
实在受不了沉重的审稿
负担,于是它宣布停止
这一审查鉴定工作。但
是,证明的浪潮仍汹涌
澎 湃,虽然两次世界大战
后德国的货币多次大幅
度贬值,当初的10万
马克折算成后来的马克
已无多大价值。但是,
热爱科学的可贵精神,
还在鼓励着很多人继续
从事 这一工作。
姗姗来迟的证明
经过前人的努力,
证明费尔马大定理取得
了许多成果,但离定理
的证明,无疑还有遥远
的距离。怎么办?来必
须要用一种新的方法,
有的数学家用起了传统
的办法——转化问题。
人们把丢番图方程
的解与代数曲线上的某
种点联系起来,成为一
种代数几何学的转化,
而费尔马问题不过是丢
番图方程的一个特例。
在黎曼的工作基础上,
1922 年,英国数学家莫德尔
提出一个重要的猜想。
:“设F(x,y)是
两个变数x、y的有理
系数多项式,那么当曲
线F(x,y)= 0的亏格(一种与曲线
有关的量)大于1时,
方程F(x,y)=0
至多只有有限组有理数
”。1983年,德国
29岁的数学家法尔廷
斯运用苏联沙法拉维奇
在代 数几何上的一系列结果
证明了莫德尔猜想。这
是费尔马大定理证明中
的又一次重大突破。法
尔廷斯获得了1986
年的菲尔兹奖。
维尔斯仍采用代数
几何的方法去攀登,他
把别人的成果奇妙地联
系起来,并且吸取了走
过这条道路的攻克者的
经验教训,注意到一条
崭新迂回的路径:如果
谷山——志村猜想成立
,那么费尔马大定理一
定成立。这是1988
年德国数学家费雷在研
究日本数学家谷山——
志村于1955年关于
椭圆函数的一个猜想时
发现的。
维尔斯出生于英国
牛津一个神学家庭,从
小对费尔马大定理十分
好奇、感兴趣,这条美
妙的定理导致他进入了
数学的殿堂。大学毕业
以后,他开始了幼年的
幻想,决心去圆童年的
梦。他极其秘密地进行
费尔马大定理的研究,
守口如瓶,不透半点风
声。
穷七年的锲而不舍
,直到1993 年6月23日。这天,
英国剑桥大学牛顿数学
研究所的大厅里正在进
行例行的学术报告会。
报告人维尔斯将他的研
究成果作了长达两个半
小时的发言。10点3
0 分,在他结束报告时,
他平静地宣布:“因此
,我证明了费尔马大定
理”。这句话像一声惊
雷,把许多只要作例行
鼓掌的手定在了空中,
大厅时鸦雀无声。半分
钟 后,雷鸣般的掌声似乎
要掀翻大厅的屋顶。英
国学者顾不得他们优雅
的绅士风度,忘情地欢
腾着。
消息很快轰动了全
世界。各种大众传媒纷
纷报道,并称之为“世
纪性的成就”。人们认
为,维尔斯最终证明了
费尔马大定理,被列入
1993年世界科技十
大成就之一。
可不久,传媒又迅
速地报出了一个“爆炸
性”新闻:维尔斯的长
达200页的论文送交
审查时,却被发现证明
有漏洞。
维尔斯在挫折面前
没有止步,他用一年多
时间修改论文,补正漏
洞。这时他已是“为伊
消得人憔悴”,但他“
衣带渐宽终不悔”。1
994年9月,他重新
写出一篇108页的论
文,寄往美国。论文顺
利通过审查,美国的《
数学年刊》杂志于19
95年5月发表了他的
这一篇论文。维尔斯因
此获得了1995~1
996年度的沃尔夫数
学奖。
经过 300多年的不断奋战
,数学家们世代的努力
,围绕费尔马大定理作
出了许多重大的发现,
并促进了一些数学分支
的发展,尤其是代数数
论的进展。现代代数数
论中 的核心概念“理想数”
,正是为了解决费尔马
大定理而提出的。难怪
大数学家希尔伯特称赞
费尔马大定理是“一只
会下金蛋的母鸡”。