1 Thales
数学史上，第一位留下名字的数学家是谁呢？他叫Thales，古希腊人。关于他的生平，大家所知甚少。他的数学成果，也都是后人转述，他自己并未留下任何专门著作。据说他曾成功预测了公元前五八五年的日全蚀，后人据此推测他的生活年代，大约在公元前六二四年至公元前五四六年。
Thales 居住在Miletus，在当时是一个非常富有的商贸城市。那里是希腊哲学，数学和科学的发源地。
Thales 是古希腊七贤之一。他是一个精明的商人，经常靠一群骡子运送食盐。在一次渡河的时候，一个骡子不慎滑了一跤，背上装满食盐的麻袋泡在水里，盐被融化了，背上负重减轻了不少。于是每次渡河，这个聪明的骡子就故伎重施，都要有意滑它一跤。当然这瞒不过睿智的Thales，于是有一次他在麻袋里装满了海绵而不是盐，终于治愈了骡子的毛病。
Thales 经商赚了很多钱，于是就像很多富有的商人一样，早早退了休。与别人不一样的是，他把闲暇时间用在了哲学，数学和天文学上。所以他也是哲学家和天文学家。
有天晚上，Thales又在仰望星空，一门心思琢磨天上的事情，结果不小心栽到脚底下的小水沟里去了。照料他的老佣人抱怨说，你脚底下的水沟都看不清，又怎能明白天上的事呢？
Thales 的数学是从巴比伦人和古埃及人那里学来的。古希腊人最伟大的地方就是，能够快速学习先进的外来文化，并且将之归纳提高。
Thales 都有那些数学成就呢？这里简单列举几条：
- 半圆上的圆周角是直角。
- 任意直径都等分一个圆。
- 对顶角相等。
- 等腰三角形的两底角相等。
- 如果两个三角形的一条边和两个相应的角分别相等，则两个三角形全等。
这些定理中的特例，也许他的巴比伦和埃及老师早已知晓，但Thales 是第一个将它们抽象概括出来的。
这些结果看似简单，却开启了数学的新纪元。数学，作为一门严格的科学，就这样诞生了。
2 Pythagoras
网上查了一下，Pythagoras生活在公元前570年至公元前495年。我读的数学史上稍有差异，说是公元前580至公元前500年。和中国的老子孔子是同时代人。网上的百度说了，孔子生于公元前551年9月28日，卒于公元前479年4月11日。老子的生卒年代不详，生于公元前约571年，卒于公元前约471年。那真是个伟大的时代，很多思想家哲学家都在那时诞生。
Pythagoras出生地是Samos，古希腊人，离Thales 的Miletus 不远。他和Thales 年龄相差也不太大，五十几年吧，可以说是同时代人。有些书上说，他是Thales 的学生。当然也有人质疑。不管是不是学生吧，Pythagoras的名气可大多了。著名的Pythagorean Theorem ，没听说过的人不多。
Thales 的哲学思想是万物皆水，Pythagoras的信条是万物皆数，由此可见他对数的执着和痴迷。他要是在数学史上不留下重彩， 这世上还有天理吗？他是不是数学史上第二个留下名字的数学家呢？不敢妄议。
Pythagoas所说的数实际是有理数。他的一个门徒后来发现，世界上还真有“无理”的数。比如说，边长为1的正方形，它的对角线就很“无理”。这样的发现在当时真是大逆不道，其发现者据说被同门兄弟活活给扔进大海淹死了。
同Thales 一样，Pythagoras 去过埃及，巴比伦甚至印度。埃及和巴比伦是当时的学问中心，他的数学不用说吸取了当地的数学精华。旅行回来后，大约在公元前529年，他定居在Crotona ，并在那里建立了一个很隐秘的兄弟会，宣扬他的数学，哲学和宗教。那里一切公有，奉行素食，颇有点共产主义的味道。兄弟会的一切发现，都归功于兄弟会的创立者，所以其发现后人都以Pythagorean 命名。
万物皆是有理数，多么美好！可惜万物皆有例外，无理数尤其众多，远远超过有理的数了。
呜呼！有可奈何？
注：无理表示不能写成两个整数的商。
3 Eudoxus
无理数的发现，对于Pythagoras学派来说，简直是地基上陷了个大坑。
地基上陷了个大坑，那该咋办？
有啥办法？想办法填坑补洞呗。
填坑补洞可不是件容易的事情，非得很多非凡的人不成。Eudoxus （公元前408年——公元前355年）就是其中一位关键的人物。他是古希腊伟大的数学家，在古希腊其数学地位仅次于后来的Archimedes。
说起Eudoxus ，就得说起他的老师Plato（公元前429年——公元前348年）。说起Plato ，又得说起他的老师Socrates，这样就没完没了了。所以就从Plato 说起。
Plato 是个很有个性的哲学家，创办了西方世界第一个现代意义的学院：雅典科学院。当时的雅典可不得了，俨然是西方世界政治商业和文化的中心。在演讲厅，Plato 让人在大门上写着：Let no one destitute of geometry enter my doors！就是说，几何知识贫乏的人别进我的大门。听听，他可不会说，没有财产的穷小子别进我的大门。
Eudoxus 恰恰是个没有财产的穷小子，来自Cnidus。贫穷和好学，真不是一对好搭挡。雅典是个高大上的城市，Eudoxus 囊中羞涩，住不起呀。没办法，他只能寄住在靠海的Piraeus ，每天来回步行十几英里到雅典。那可是尘土飞扬的泥土路啊！好在他在数学和天文学上天分极高，最终获得重要的位置，并到埃及，意大利和西西里旅行，见到了许多有名的学者。他在那次旅行中见到了他的另一位老师，几何学家，Pythagoras 学派的Archyras（公元前428年——公元前347年）。公元前368年，在他四十岁的时候，回到了雅典。陪伴他回来的还有一群他自己的学生。
Eudoxus 是如何填坑的呢？
Pythagoras 学派已经知道了无理数的存在，但对如何处理无理数却束手无策。知道是一回事，如何应对却完全是另一回事。Eudoxus 提出的比例（proportion)概念则成功地解决了这个问题。
有了比例这个概念，数学家们总算喘了一口气，数学的高楼大厦，可以继续接着盖了。
注：According to “men of mathematics “ by E.T. Bell, page 25, Eudoxus’s first teacher was Archytus. But from “The great mathematicians “ by H.W Turnbull, it seems that Plato was his first teacher.
4 Zeno
Eudoxus 是填坑补洞盖大楼的，用时行的话来说，是充满正能量的人。Zeno （公元前495—-公元前430）正相反，是专门寻找漏洞挑毛病的人，满满的负能量。Zeno 是著名的哲学家，他的好多悖论，叫人不好应付。也正因为这些悖论，让数学家们谨小慎微，避免了不少可能的陷阱，使得数学这个高楼大厦，得以建立在坚实的地基之上。
前面我们说过，Archytas 是Eudoxus 的另一位老师。Archytas 住在Tarentum，意大利南部的一个城市。
还记得Crotona吗？就是Pythagoras 在那里创立兄弟会的地方。在Crotona 和 Tarentum 之间，有个叫Elea 的城市，Zeno 就住在那里。他和他的老师Parmenides 在那里建立了Elea学派。
Pythagoras 学派认为空间和时间是连续的，是无穷可分的。Zeno 有两个有名的悖论，是说无穷可分是不可能的。
第一个悖论叫Dichotomy 悖论，用以证明，假如空间无穷可分，那么人就永远不可能从A点走到另一个B 点。他的推理是这样的，要走到B，就一定要先到AB的中点C，而要到C呢，又得先到AC的中点D，依此类推，这样弄下去，根本就没法子迈开第一步。
第二个悖论叫Achilles悖论，是说不管你Achilles能跑多快，都不可能追上你前面爬行的乌龟。下面是他的推理：假设Achilles在A点，乌龟在B点，当Achilles跑到B点的时候，乌龟已经在前面的某个C 点了，而当Achilles跑到C点时，乌龟又在前面的某个D点了，如此这般，就算Achilles 能日行千里，也追不到步履蹒跚的乌龟呀。
这么说来，Zeno 不认同无穷可分论，一定认可它的对立面啰？
不，他的另外两个悖论，就是用来说明对立面也同样有问题。
瞧瞧，Zeno老先生多么可爱！他就是这么任性，这么爱挑剔！
