数学家的故事 （十一）

17 Bernoulli兄弟

这里的Bernoulli兄弟是专有名词，指的是Jakob Bernoulli和Johann Bernoulli俩兄弟。祖上为了逃避宗教迫害，于1583年从比利时逃到瑞士，他们的父亲最后在Basel安顿了下来。

Bernoulli家族是数学史上最伟大的家族，曾经在连续的三代当中产生了八位数学家，其中三位声名远扬，最为著名的就是Bernoulli兄弟。他们的名字有时也写成James和John，或者Jacques和Jean。

Bernoulli家族名气之大，有这么一个故事作为佐证。Daniel Bernoulli是Johann Bernoulli的儿子，也是一位大数学家，在一次旅行途中，和一位陌生人聊天，聊得很开心，末了他很谦虚地介绍自己：“顺便介绍一下，我是Daniel Bernoulli“。不料那位聊友以为他吹牛，用开玩笑的的口吻回答：“我，” 他慢条斯理地说，“是Isaac Newton!”。

Jakob，生于1654年，是家中十个孩子里的老五。父亲要他学神学，他也的确学过一段神学，后来实在没兴趣。他的兴趣在数学，通过自学，他于1687年成了Basel大学的数学教授。

Johann是家中老幺，生于1667年。同样屈从于父亲的压力，一开始学的是医学。无奈他也深爱数学，1687年就偷偷跟着Jakob学习数学了。过了两年，他就和老哥功夫不差上下。他有数学天赋，也爱到处显摆，显示自己功夫了得。Jakob很难接受小自己十几岁的小弟和自己平起平坐，总喜欢在公开场合戏称他为自己的小学生，弄得Johann不舒服，于是兄弟俩的明争暗斗开始了。

在1684年和1686年，Leibniz发表了两篇关于微积分的文章。Jakob深深为之吸引，一头扎进Leibniz的论文之中，不久就成为这方面的专家。Leibniz这样说：“微积分只有很少人知道，我不知有谁比他懂得更多。”

Jakob在解析几何，变分法和概率论等分支都有重要贡献。概率论中的大数定理，就是他发现并证明的。大数定理是概率论中最重要的定理之一，另一个重要定理就是中心极限定理了。

Jakob在1705年过世。他的重要著作《Ars conjectandi》在他死后八年发表。

早在1690年，Jakob提出一个存在很久的问题，那是一个关于悬链线的问题。假设A和B是在同一水平线上的两个不同点，有一根比两点间直线距离长的绳子，两端分别固定在A和B上，绳子所形成的曲线是什么样子？Galileo考虑过这个问题，以为是个抛物线，但是没法证明。Jakob这时已是少数几个懂微积分的专家，觉得微积分也许能派上用场。他苦思冥想了一年多时间，还是没有着落。

1691年Johann找到了答案。同时给出正确答案的还有Leibniz和Huygens。1718年，Johann在给朋友信中写道：

我哥苦思冥想一年没有结果；我呢，比较幸运，因为我懂得技巧（我不是吹牛，我为什么要隐瞒真相呢？）。我整整想了一个晚上，……，第二天一早，我就跑去对他说，不要再折磨你自己啦，那根本就不是抛物线，你再费劲也证明不了的。

这时候他还没忘记贬损他哥呢，他哥已经过世十三年啦！

数学中有一个著名的无穷级数，叫调和级数，它是所有自然数的倒数之和。用数学表示出来，就是1/1 +1/2+1/3+1/4+•••。这个级数是收敛还是发散？答案并不明显。Johann先证明了它的发散，由Jakob在1689年发表，标题是“Tractatus de seriebus Infinitis”。文中给出了级数发散性的证明，还特别强调：“是我老弟第一个发现了它的证明”，这在Bernoulli兄弟中可是太稀罕啦！

它的证明非常有趣，我们就在这里介绍一下。

我们知道，Leibniz在法国逗留期间，遇到了Huygens，成了Huygens的学生。当时Huygens给了他一道难题，就是求无穷级数

S=1+1/3+1/6+1/10+1/15+1/21+•••的和，其中级数的第n项是第n个三角数的倒数。第n个三角数可以表示成n(n+1)/2，排成数列，就是1，3，6，10，15，21，•••

聪明的Leibniz想出了下面的方法：

S/2=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+•••
S/2=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+•••
S/2=1。所以S=2。

利用Leibniz的结果，Johann给出了下面的巧妙证明。

用A表示调和级数，用A1，A2，A3，•••，分别表示如下级数

A1= 1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+•••=S/2=1
A2=A1-1/2= 1/6+1/12+1/20+1/30+•••=1/2

A3=A2-1/6= 1/12+1/20+1/30+•••=1/2-1/6=1/3

A4=A3-1/12=1/4

以此类推，我们有An=1/n。所以

A1+A2+A3+•••=1+1/2+1/3+•••=A。注意到

A1= 1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+•••
A2= 1/6+1/12+1/20+1/30+•••
A3= 1/12+1/20+1/30+•••

所以A1+A2+A3+•••
=1/2+(1/6+1/6)+(1/12+1/12+1/12)+•••
= 1/2+1/3+1/4+•••
= A-1，结果我们发现A=A-1。如果A是有限数，就会导出0=-1这样一个荒谬的结论。所以A不可能是有限数，必然是无穷大。

顺便提一下，调和级数的发散，更早的时候就为人知，但Bernoulli兄弟并不知道。早在1350年，法国数学家Nicole Oresme就证明了它的发散，而意大利数学家Pietto Mengoli(1625—1686)也在1647年给出了证明。

1695年，Johann收到两封聘书，一个是Halle大学的教授，另一个是荷兰Groningen大学的数学系主任。他接受了后者，但他真正中意的是他哥在Basel的位置。他也知道，只要他哥在，自己就没戏。他哥死后，他果然得到了梦寐以求的职位，成了Basel大学的数学教授。

 

前面我们提到，1696年6月，Johann提出了具有挑战性的最速下降线问题，下面几个人给出了正确答案，分别是：Bernoulli兄弟，Leibniz, Newton和L’Hospital（1661—1704）。L’Hospital的解答曾得到Johann的帮助。

 

L’Hospital是一位法国侯爵，家里有钱。1691年至1692年Johann在法国逗留并在1692年结识了L’Hospital，成了L’Hospital的数学老师。他们签了一份合约，L’Hospital付给Johann固定工资，但Johann 必须把这期间的数学发现寄给他，由他随意使用。

 

结果，L’Hospital在1696年出版了一本关于微分的教科书，书名就是《Analyse des infiniment petits 》。L’Hospital在书中特别致谢了Bernoulli兄弟，尤其是年轻的Groningen教授。起初，Johann对于该书的出版还挺满意，尤其是书中提及他本人的贡献。

 

该书出版后反响较大，在18世纪起了重要作用，其中著名的L’Hospital法则，在当今的教科书中还广为人知。

L’Hospital 于1704月过世。这时Johann已不满足简单的致谢了，他要告知世人，他才是本书真正的作者。他甚至控诉作者剽窃了他的成果。

当然这时L’Hospital已无力反驳了。

Johann妒忌心十足，从他如何对待儿子Daniel 可见一斑。Daniel多次获得法国科学院颁发的奖章，他居然因为儿子取得巨大成就而不让他进自家的大门。Daniel十次获奖，他自己只得过两次，太气人了，做儿子的，怎么可以超过老子？多么没有面子啊！

Johann还有一位年轻的学生，名叫Leonhard Euler。

Euler是数学史上一颗耀眼的星星，马上就要闪亮登场了！