老安游记《浏览美国地理风光》第十六篇：后记
自从关于圣路易斯拱门的游记（第十三篇：看奇迹）发布以来，收到部分读者提出的要求，希望了解悬链线方程的推导过程。因为涉及到数学中的微积分运算和物理学中的力学分析，对学文科的朋友，可能带来不便，所以没有在正文中详细叙述。但是考虑到学理工科的读者，就把悬链线方程的推导过程编在本后记中，希望能够两边兼顾，对有兴趣的读者有所帮助。
1. 悬链线方程的精确解
悬链线（Catenary）是一种常用曲线，物理上用于描绘悬在水平两点间的，在均匀重力作用下的软绳或锁链呈现的形状，因此而得悬链线之名，下图是路边常见的悬链线。
图1. 路边常见的悬链线
现有一根自然下垂的柔软细绳，取垂直的 y 轴为对称轴，x 轴为水平轴，如图 2 所示。
图2. 置于坐标轴中的悬链线
（i）弧长分析
设曲线 y = f(x) 在（x，y）点的微元弧长为ds，其水平与垂直分量分别为 dx 和 dy，其倾角为 
，如下面图 3 所示。
图3. 细绳在（x，y）点的弧长分析
曲线的斜率为：
（1）
微元弧长为：
积分后，可求得弧长：
（2）
（ii）受力分析
从水平和垂直的两个方向进行受力分析：垂直方向由于重力的作用，绳中张力 F 的垂直分力并不是处处相等，而是从最低处起(=0)，逐渐增加。绳中张力 F 的水平方向无重力作用，因此张力的水平分力处处相等。
取细绳坐标为（x，y）的点进行受力分析：张力 F 的走势与此处的切线相同，张力的垂直分力为此处细绳的重力 mg，而细绳的质量 m 等于线密度 ρ 乘以绳长 S，mg=ρg S,
再设张力的水平分力为 T，则此细绳在（x，y）点上的受力情况如下面的图 4 所示。
图4. 细绳在（x，y）点的受力分析
从图 4 中很容易看出，曲线 y = f(x) 在（x，y）点的斜率为：
（3）
（iii）微积分运算
把方程（2）中的 S 代入方程（3），得：
（4）
两边求导，得：
（5）
将方程（5）中的 f(x) 导函数，转移至等号同侧，得：
（6）
两边积分，得：
（7）
亦即
(8)
查阅导数与积分表，发现：
(9)
以 f'(x) 代替 x，方程（9）的成为：
(10)
写成微分形式
(11)
把方程（11）的两边，对 f'(x) 积分，得：
对方程右端，考虑到方程（8），得：
(12)
完成右端积分，得：
（13)
这是反双曲正弦函数，反过来，双曲正弦函数为：
(14)
对方程（14）积分得：
(15)
为了求出方程右端的积分，令 
，即
，则
,
方程（15）的右端变成：
再查阅导数与积分表，发现 [coshx]'=sinhx，把上式对 z 积分，得：
再把 z 还原成 x，得：
因此方程（15）变成：
(16)
（iv）悬链线方程的精确解
由于我们选取对称轴为y 轴，在 x=0 处切线呈水平，即 f'(0)=0，从方程（14）中得到sinhC1=0，进而C1=0。对于C2，没有任何限制条件，可取任意值，去掉下标2后，得：
(17)
令常数 a = T /
，方程（17）变成：
(18)
这就是悬链线方程最一般形式的表达式，也就是在街头常见的悬链线照片中，嵌入图中的那个悬链线方程（见图1）。令人惊喜的是，德国数学家莱布尼茨（Leibnitz）和荷兰天文学家惠更斯，于1691年分别独立地给出了该问题相同形式的解。
2. 圣路易斯拱门悬链线方程的近似解
（i）精确解的困难
在精确的悬链线方程表达式中，有两个常数需要确定，常数 c 很容易定，它决定曲线在 y 轴上的高低，不失一般性，可取 c = 0。但是常数 a 却不容易定，它决定曲线在 x 轴上的张开度和曲线顶点在 y 轴上的纵坐标。
不幸的是，对于给定点的坐标（x，y），要想求出 a，必须要解一个关于 a 的，非线性的（Non-Linear） 隐函数（Implicit Function）形式的，超越方程（Transcendental Equation）。没办法，只能用数值方法去逐渐逼近。
因此，所谓的“精确解”，也只是个称谓罢了，不同的位数达到不同的精度，但都是近似值。其实，双曲余弦函数的值，除了少数几个特殊点之外，都是无理数，都是近似值，就看你想要的精度是到多少位了。
再进一步看，甚至有理数中的分数，1/3=0.333 … …, 1/7=1.412857142857 … …，也都是“无限”循环小数，并不是“精确值”，不同的精度要求，选取不同的位数。
对于一般的悬链线方程（18），有人假设 c = 0，对于每一个 a 值，算出一条曲线，对于不同的 a 值，算出一族曲线，如下图所示，这项研究形象地显示了常数 a 的影响。
图5. 不同 a 值算出的悬链线曲线族
数值逼近的方法，只有在计算机发展到一定程度时，才能付诸实践，而计算机真正开发出来，是上个世纪八九年代的事情。圣路易斯拱门的建造是上个世纪六十年代，用数值逼近的方法去解拱门悬链线方程的精确解，非线性的隐函数超越方程，似乎不太可能。
科学技术的发展，都带有时代性，圣路易斯拱门在建造时，连现代化的直立加横臂的起重机（Crane）都还没有，只能利用已经建造好的“脚”，当作起重机的立柱，把预制好的三角单元，一块一块地叠加上去，见下面的图 6 和图 7。
图6. 圣路易斯拱门的单元结构图
图7. 圣路易斯拱门的中期施工图
所以说，在圣路易斯拱门的建造过程中，使用某种近似方法，是不得不做的事情。我尚未看到当初建设者所写的计算公式报告，而是根据目前所知的条件，推导出圣路易斯拱门悬链线方程的近似解。
（ii）寻找悬链线的近似解
如果能够找到一个显式的悬链线方程的近似解，在工程应用上就会方便得多。最简单的假设就是：取双曲余弦符号内的 a = 1，因而前面的悬链线方程（18），就可以简化为如下的方程（1），（注：方程的编号在这节重新开始）。
y = c + a cosh x (1)
对于圣路易斯拱门，高度等于两脚之间的距离，所以对于拱门的顶点，x =0， y = 1, 则方程（1）变成：
c + a = 1 (2)
对于拱门的右脚，x = 1/2，y = 0, 则方程（1）变成：
c + a cosh 1/2 = 0 (3)
方程（2）减去（3），消去 c ，解出 a：
a = 1 / [1-cosh 1/2] (4)
把（4）中的 a 值代入（3），解出 c：
c = - a cosh 1/2 (5)
再把（4）中的 a 和（5）中的 c 代入方程（1），得：
y = [cosh x - cosh 1/2] / [1 - cosh 1/2]
于是，y 作为 x 的显函数，得：
y = 1 - [1 - cosh x] / [1 - cosh 1/2] （6）
根据双曲余弦函数的定义，
(7)
最后得到圣路易斯拱门悬链线的近似解：
(8)
这是一个 y 关于 x 的显式方程，对于任意的 x 值，马上可以求出对应的 y 值。
（iii）悬链线近似解的验证
为了验证这个公式，我们做出如下计算，在x = -1/2 和1/2 之间取21个点，由公式（8）所算出的曲线图如下（图8），毫无疑问，这是一条悬链线。
图8. 取21个点所计算出来的圣路易斯拱门形状
如果取更多的点，计算中取更多的位数，则曲线就会更加光滑，数值也就会更加精确，完全可以代替令人大伤脑筋的，非线性的，隐函数形式的，超越方程了。
3. 抛物线和悬链线的对比
我最近在网上查阅了一些有关圣路易斯拱门的文章，有人说，拱门的形状是“抛物线”， 很可惜，这是个错误的认识。为此，我做了一个抛物线的计算，抛物线的方程选作如下的方程（9），以满足和悬链线方程（8）相同的顶点和双脚条件。
y = 1 – 4 x² （9）
如果 x 值都取有理数， y 值必定也都是有理数，所以抛物线的解是真正的“精确解”。如果把抛物线的结果与悬链线的结果重叠在一起，可以看出，相比于悬链线，抛物线比较“瘦”，如下面的图 9 所示。这里的黑色实线是悬链线，红色虚线是抛物线。
图9. 抛物线与悬链线的对比
下面的表1列出了悬链线和抛物线在 21 个点上的坐标值。
表1. 抛物线与悬链线的对比
从上面表 1 中可以看出：抛物线总是低于悬链线，两者之间的差别，在于小数点的第3位以后。悬链线是无理数，抛物线是有理数。总而言之，拱门的形状，“看似好像抛物线”， “实则倒置悬链线”。
4. 编者的暂时告别
新年伊始，迄今为止，本人发布了三套系列主题游记。从第二个千禧年的第二个十年，第一年第一个月的第一天 (2021.1.1)，开始发布第一套：《走遍美国五十州》。五个月后 （2021.5.1），又开始发布第二套：《追寻美国总统的足迹》。再过三个月后（2021.8.1），开始发布第三套：《浏览美国地理风光》，现在已经全部与读者见面。
在这段时间里，得到了许多网友的响应，有表扬也有批评，有补充也有纠正，笔者在此表示衷心的感谢。在读者的殷切希望和热情鼓励下，逼得我不顾“老卖年糕”（侯宝林语：意为老迈年高），阅读书籍，查找资料，勤动脑筋，客观上推迟了“老年痴呆症”的光顾，看来是件好事。
另一方面，这项工作对我来说，也是一种精力和体力的考验：贪黑熬夜成了家常便饭，深夜梦里突发奇想，一跃而起拿笔记下，否则第二天必忘无疑，也是常有的事。因此，下一段时间，打算调整一下心情，歇歇脚，喘口气，然后再找点什么由头，继续当我的“坐家”。
也可能换个方式打发时间，“万卷书”是读完了，是不是该走“万里路”了？一年多的疫情，把人都憋死了，现在情况已经有所好转，打算迈开双脚，拄起单拐，找个目标，走一走，看一看，去哪里走，去哪里看，再考虑考虑吧。
不论是家里坐，还是出门走，总得考虑写什么主题呀？前面的三套游记，都是写美国境内的，为何不考虑一下美国之外呢？再想想吧，也欢迎各位，帮忙出个主意，多谢了，再见。
