24 Hilbert旅馆
德国数学家David Hilbert是Cantor的坚定支持者。他有句名言:“No one shall expel us from the paradise which Cantor has created ” 就是说:“没有人能够将我们从Cantor建造的天堂中驱离。”
Hilbert旅馆是Hilbert发明的旅馆,那里有无穷多个房间,房间号依次为1,2,3,……。经理就是数学家Cantor。
新开张的旅馆信誉好,生意兴隆,天天客满,房客店主都很开心。
有一天来了一位新客人,找到店小二,要住店。店小二挠挠头皮,说:我们已经客满,每个房间都有人了,没办法啊,对不住了。
旁边还在思考连续统猜想的Cantor突然说:怎么没办法?有办法!
他吩咐小二:通知房客,所有人都搬到比他房间号大一号的房间去住。也就是说,住1号房的房客搬到2号房,2号房的房客搬到3号房,依次类推,这样1号房就空出来了。
店小二虽然没上过多少学,却是一个聪明人,触类旁通,以后就是来一千来一万,他也不怕了。
过了一些日子,又遇上了新问题。那天一开门,外面来了无数的客人要住店。这里的无数可不是文学上的修辞夸张,是真的无数。小二傻眼了,这可咋办啊?旅店客满他倒不怕,问题是一下子人来得实在是太多了呀。
Cantor说:太好办了。他吩咐小二,你去通知现有房客,让他们搬去他们现有房号的两倍房号那里去。这样,1号房客住进了2号,2号房客住进了4号,3后房客住进了6号,等等,所有的奇数号房都空出来了。于是新来的客人都可以入住了。
店小二人聪明,擅长举一反三。比如有一天,旅馆外来了两辆客车,每辆车上都有无穷多的客人,怎么办呢?不能事事都找经理,他自己就动脑子想出了点子。他通知现有的房客,让他们都搬进现有住房号三倍的那号房去。这样,1号房客搬进了3号,2号房客搬进了6号,于是,1号2号空了出来,4号5号空了出来,依次类推,然后安排第一辆车的第一位客人住1号,第二辆车的第一位客人住2号,第一辆车的第二位客人住4号,第二辆车的第二位客人住5号,等等,所有的客人就都安排妥当了。
日子一天天过去,店小二也越来越成熟。不过有一天,又碰上难题了。这一次来了无数辆客车,车车都载着无数的客人,这一下他的聪明脑袋只好再一次发矇。
没办法,只能找经理。
Cantor说:别急,照样有办法。
你让现有的住在i 号房的客人搬进2^i号房,这样所有的奇数号房都空出来了,当然还有不少偶数号的房也空出来了,比如,6号,10号,12号,等等。然后我们把所有的奇素数排好,分别叫p1,p2,p3,……,接下来你这样安排新来的客人:第i辆车上的第n个客人,你让他住进(pi)^n号房。
店小二跟着Cantor已经有一段日子了,对素数已经有了一些了解。他知道奇素数有无穷多,按顺序排出来就是: 3,5,7,11,13,17,……,也就是: p1=3,p2=5,p3=7,p4=13,p5=17,……。他安排好了客人,长长舒了一口气。不光客人安排妥当了,还有无穷多的房间空了下来,以后再来些零散客人,他都不用费脑子了。
这时店小二突然想起:自从旅馆开业以来,还从来没有客人退过房,而新来的客人却有增无减,怎么开着开着,反而空出无穷多的房间?
这个Hilbert旅馆,真是邪了门了……
(完)