五 两个信封问题
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有两个一模一样的信封，里面都装有现金，其中一封是另一封的两倍。你可以随便选取一个信封，其中的现金是你的奖品。在你还未打开选好的信封之前，问：要不要换成另一个信封？
换，还是不换？
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决定换还是不换，准则只能是另一封信里的钱是否更多。
如何知道另一封信里的钱是否更多？在没有打开信封之前，不可能知道里面有多少钱，那是一个未知数，或者准确一点说，是个随机变量。对待随机变量，我们无法事先知道它的精确值，但有时能算出它的数学期望值。数学期望值，实际上就是我们常用的平均值。如果知道随机变量的概率分布，就可以算出它的数学期望值。比方说，如果随机变量X可以取值a和b，其期望值E(X)就是E(X)=ap+bq，其中p和q分别是X=a和X=b的概率。因为X只取a和b两个值，必定有 p+q=1。粗略地说，如果你不知道随机变量的精确值，往往可以用期望值代用。
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如何计算信封里现金的期望值呢？下面是一段推理，称之为推理一。
1：用A表示所选信封里的现金。
2：A是小钱的概率是1/2，A是大钱的概率也是1/2。
3：用X表示另一封信里的现金，则有p = P(X=2A) = 1/2, q = P(X=A/2) = 1/2。
4：所以X是一个随机变量，其数学期望值为E(X) = (1/2)(2A)+(1/2)(A/2) = (5/4)A。
5：因为E(X) > A，换是合理的选择。
这段推理有问题吗？似乎每一步都合情合理，中规中矩。
假如推理正确无误，那么再问：想不想换回原来的信封？
又该如何是好？
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细想的确有点不对劲，但问题出在哪里呢？
先看第4步。从期望值的计算来看，信封里的现金变成了要么是大钱2A，要么是小钱A/2，大钱小钱之比是4，明显和原题有出入。原题中的大钱小钱之比是2。
第4步的计算来自第3步，所以我们看第3步。第3步说，另一信封里的现金是大钱和小钱的概率各占一半，并无不妥。
再看第2步。有问题吗？
有！
细思极恐，问题就出现在不经意的细节。
不错，A是小钱和大钱的概率的确都是1/2，但大钱和小钱是不同的值，用同一个数A表示容易引起误解，后面的错误就是源于此处。实际上A是一个随机变量，它是大钱和小钱的概率各占1/2。
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我们换一个思路，看下面的推理二。
两个信封，一个里面的现金是B元，另一个是2B元。用Y表示所选信封里的现金数，则Y是一个随机变量。我们有 P(Y = B) = 1/2和P(Y = 2B) = 1/2。这里可以看出，Y是大钱时它的值是2B，Y是小钱时它的值是B，不能简单的用同一值表示。
用X表示另一信封里的现金数，则有 P(X = 2B) = 1/2和P(X = B) = 1/2。所以E(X)=(1/2)(2B) + (1/2)B = (3/2)B。同样，E(Y)=(3/2)B。
两个信封里现金的期望值一模一样，交换不带来任何好处。
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下面的领带问题是一个变种，同样有趣。
情人节过后，两个男人在酒吧见了面，每人都打了一条新领带。甲说：“很高兴见到你，瞧我太太给我买的领带，又便宜又好。” 乙说：“可不是吗，我太太给我的领带更便宜更好。”于是两人顶上嘴了，都宣称自己的太太更加贤惠能干，买的领带更加实惠合适。好在两位都是绅士，决定用打赌的方法解决争端：谁的领带贵就把领带送给对方。
甲心里想：“如果我输了，输的是我的领带，如果赢了，就是赢更贵的领带，输和赢的概率都是1/2，因此期望值总是正数。这个赌只赢不亏。” 于是甲非常高兴。
乙也是同样的想法，自然眉飞色舞。
为什么会这样呢？
