建于1477年的Uppsala大学是瑞典第一所大学，也是北欧最古老的大学，称其为瑞典现代科学的摇篮应不为过。每个大学新鲜人都是伴着现代生物分类学之父Carl von Linné、发明摄氏度的天文学家Anders Celsius等大神的名字渡过学生时代的，还有世界三大现代化学之父之一Jöns Jacob Berzelius、光谱学的奠基人Anders Ånström以及11位诺奖得主。瑞典这个只有约一千万人口的北欧小国以其人均高科技含量位居世界前列而闻名，在数学研究领域同样具有国际声誉和地位。
瑞典现代数学的发展，与Uppsala大学有着密不可分的关联，多位著名瑞典数学家，如Gösta Mittag-Leffler、Arne Beurling和Lennart Carleson等人均出自这所大学。然而即使在瑞典国内，上述数学家的故事也很少为圈外人知晓，系统介绍瑞典数学史和数学家的中文文章更是难得一见。笔者从上世纪八十年代末至九十年代中期在Uppsala大学数学系读书和工作，常常听到和读到这些前辈数学家的传奇故事，因此愿将多年来的所见所闻和心得感悟写下来与读者分享。
瑞典数学之父 Gösta Mittag-leffler
瑞典的历史上出现过很多著名的科学家和发明家，这个名单可以列出长长的一串，但在1870年以前却几乎没有什么有名的数学家。大概由于那时瑞典的钢铁和采矿业比较发达，使得人们对实用科学更感兴趣，比如Alfred Nobel就曾拥有一座钢铁厂，这一现象直到Mittag-Leffler时代才改变。后来被称为"瑞典数学之父"的Gösta Mittag-Leffler (1846-1927) 出生在Stockholm一个开明的教师家庭，他的姓氏分别取自母姓 (Mittag) 和父姓 (Leffler)。Mittag-Leffler虽然自幼体弱多病，但很早就表现出来丰富的数学想象力。他在一位有才干的高中老师影响下进入Uppsala大学学习数学，以Cauchy幅角原理应用的研究论文于1872年获得博士学位。
毕业之后第二年在Copenhagen召开的Scandinavia自然科学大会上，Mittag-Leffler意识到他自己以及整个瑞典的数学水平甚至低于邻国丹麦，以至对于自己作数学家的选择产生了怀疑。随后不久他获得一笔奖学金，得以到当时的欧陆数学重镇巴黎、哥廷根、柏林等地游学三年。Mittag-Leffler在这些地方遇到了如Charles Hermite、Ernst Schering、Leopold Kronecker等国际数学界领军人物，并与后来的世界领袖数学家Henri Poincaré成为好友，其中对他影响最大的是被誉为"现代分析数学之父"的柏林大学教授Karl Weierstrass。
1876年二月Mittag-Leffler在圣彼得堡第一次见到Weierstrass的学生——俄国女数学家Sonja Kovalevsky (1850-1891)，为其优雅风姿和卓越才华所折服。他在给母亲的信中将这次会面称为自己"一生中最难忘的事件之一"，从而开始了两人终生的友谊。欧陆的游学结束后，由于Hermite、Weierstrass等人的强有力推荐，Mittag-Leffler获得了芬兰Helsinki大学的教授职位——尽管他达不到该国政府对于芬兰语的要求。芬兰语属于乌拉尔语系，而不是大部分其他欧洲语言所属的印欧语系，与瑞典语相去甚远。Mittag-Leffler于1881年回到祖国并出任新成立的Stockholm大学的前身——Stockholm高专首位数学教授，开始了他事业上的新阶段。他在数学分析和复变函数方面有许多经典性工作，著述达119种，其中有著名的Mittag-Leffler定理和Mittag-Leffler矩阵。
Mittag-Leffler对于瑞典社会和数学界的贡献并不仅仅局限于学术范畴，更在于他非凡的社会活动和组织才能，他是使瑞典数学界真正走上国际舞台的先驱者。Mittag-Leffler与瑞典的上流社会交往甚密——包括当时的瑞典和挪威君合国国王Oscar二世，在他的斡旋下，Henri Poincaré曾因对三体问题的研究于1888年获得一个由Oscar二世颁发的数学奖。Poincaré的论文以及进一步的工作导致了混沌理论的诞生，后来Mittag-Leffler又多次为Poincaré争取Nobel物理学奖，但最终无果。由于Mittag-Leffler多年的苦心经营，使瑞典当时拥有世界上最好的数学研究资料和图书馆，1882年他创刊出版了至今仍是世界一流的数学期刊Acta Mathematica。
同年Mittag-Leffler与比他年轻15岁的芬兰裔富商之女Signe Lindfors结为连理，这一联姻为他后半生的事业奠定了经济基础，他本人后来也成为一名成功的实业家，在水电、房地产、金融保险业均有投资。Mittag-Leffler全力投身于学术政治，曾担任包括瑞典皇家科学院KVA、伦敦皇家学院、法兰西学院、俄罗斯科学院在内的45个学术机构的成员或院士，1904年Mittag-Leffler还建立了瑞典精算师协会并担任首任主席。每年12月10日Stockholm的一大盛事是诺贝尔颁奖仪式后的晚宴，但少有人知道，这一传统起源于Mittag-Leffler的私人宴会。当年的颁奖活动很枯燥，所以好客并酷爱爬梯的Mittag-Leffler夫妇就把物理学、化学和文学奖的得主们和本地名流请到家中聚会。直到1915年Mittag-Leffler夫妇感觉力不从心了，才由国王接手，从而演变成了今日Stockholm市政厅的官方活动。著名数学家、社会活动家、实业家——一身多种角色，这在清高、出世的数学家世界中还真不多见。
Acta Mathematica的创办过程也充满了是非曲折，创办期刊的想法最初是著名挪威数学家Sophus Lie于1881年在Stockholm与Mittag-Leffler会面时提出并建议其担任主编。在草创阶段他们二人密切合作，确定了期刊的北欧风格并具有国际水准的办刊方针，发表的文章以法文和德文为主，也可以是英文或拉丁文，但不久之后由于种种原因Lie就淡出了创刊工作。在1881年前后，除了Lie和Mittag-Leffler之外，北欧各国已经涌现了一批国际水平的纯数学和应用数学家，并且有三位数学教授在各自国家已经达到很高的行政职位，因此这份期刊可以说是应运而生。虽然Mittag-Leffler与Weierstrass一直私交很好，但Weierstrass和Kronecker当时主办德国数学期刊Crelle's Journal。为了避免可能发生的竞争关系，在那一时期Mittag-Leffler有意避开Weierstrass等德国数学家，而与法国数学家——比如他的另一位导师Hermite在数学和私人联系都更密切些。
在Hermite的影响下，Mittag-Leffler意识到他在巴黎时期的好友Poincaré可以为这份北欧数学期刊开创一个光明的未来。在Mittag-Leffler晓之以理、动之以情的忽悠下，Poincaré欣然接受成命，Hermite作出了详细的计划并给予祝福，期刊项目正式启动。第一届编委会由多位北欧数学家组成，但只有Carl Johan Malmsten和Hieronymus Georg Zeuthen等少数几人真正投身于编委工作。最初几年为了维持期刊的正常运转，Mittag-Leffler和Malmsten积极向政府和私人募捐，包括Oscar二世国王和Hermite等人均慷慨解囊。当时普法战争刚刚结束十年，德国和法国两国人民之间的积怨很深，为此Mittag-Leffler还通过国王斡旋，最终获得Weierstrass等德国数学家的理解和支持。1882年夏天Mittag-Leffler在与新婚妻子环游欧洲蜜月旅行的同时向德法数学家组稿，经过反复磋商之后新期刊于当年11月2日定名为Acta Mathematica，12月12日Mittag-Leffler将新期刊第一卷第一册的第一本面呈国王，Oscar二世也真是一位开明可爱的君主。
Mittag-Leffler对北欧乃至国际数学界的最大贡献，大概就是和夫人一起于1916年他70岁生日当天将自己在斯京郊区Djursholm的别墅及藏书全部捐出，成立了世界上第一个数学研究所。十九世纪末、二十世纪初的瑞典是一个群星璀灿的时代，出现了众多如发明家及世界首富Alfred Nobel、数学家Gösta Mittag-Leffler、画家Anders Zorn和Carl Larsson、文学家August Strindberg和Viktor Rydberg、雕塑家Carl Milles以及第一位诺贝尔文学奖女性得主Selma Lagerlöf等瑞典科学、文化历史上的重量级人物，而且他们还多有交集。当时在Djursholm建造了很多由著名建筑师设计的别墅，聚集了一批名人、银行家、科学家和艺术家，成为瑞典第一个整体规划的别墅区及瑞典上流社会的中心并延续至今。Mittag-Leffler夫妇的别墅是这一地区的标志性建筑，Mittag-Leffler则是这一社区的核心人物之一，Milles为还他雕塑了胸像，瑞典最后一位浪漫主义作家和诗人Viktor Rydberg曾是他的同事、邻居和好友。
Mittag-Leffler在别墅建造之初就是按照数学研究所和图书馆的样式来设计的，建成后曾进行过两次改造和扩建。Mittag-Leffler的藏书是当时瑞典社会最大的私人收藏，包括约四万册藏书和三万封信件——其中有许多珍贵原稿以及Albert Einstein、Georg Cantor、Weierstrass、Poincaré、Kovalevsky等名人书信。Mittag-Leffler夫妇膝下无子女，这也许是他们将房产捐出的主要原因，其实瑞典的很多科学基金和奖金均来自富人的捐赠，是这个国家的传统。位于风景如画的波罗的海Germaniaviken海滨的Mittag-Leffler研究所现在每年都举办不同的数学研究项目，使得全世界的数学家多了一个静心研修的去处，当然比较偏重北欧口味。
笔者来到瑞典的第一年正是Mittag-Leffler研究所的算子代数学术年，主持人是丹麦数学家Uffe Haagerup和挪威数学家Erling Størmer，后者曾任Abel奖第一届评委会主席，那时我每周和导师一起去研究所听学术讲座。除Acta Mathematica之外，瑞典皇家科学院KVA又于1903年创办了另一份数学期刊Arkiv för matematik，直到1971年由Mittag-Leffler研究所接手。研究所所长同时兼任这两份数学期刊的主编，但后者更平民化一些。2016年是Gösta Mittag-Leffler诞生170周年，也是Mittag-Leffler研究所成立一百周年，3月16-20日在Stockholm召开的"第27届北欧数学家大会"就以庆祝这一盛事为主题。
Mittag-Leffler还是一位著名的女权主义者，1884年他在Weierstrass的影响下，帮助好友Kovalevsky成功得到Stockholm高专的教职和Acta Mathematica的编委位置，使其成为世界上第一位女性全职数学教授和数学期刊女性编委。Mittag-Leffler本来还打算助选Kovalevsky成为KVA的院士，但遭到科学院的强烈反对。瑞典号称世上男女最平权的国家，但学界却是男人的一统天下，至今改进有限，比如直到2010年皇家科学院才选出第一位女性数学院士。被称为瑞典"现代文学之父"的Strindberg与Mittag-Leffler对待妇女的态度有天壤之别，Strindberg曾在报上评论Mittag-Leffler帮助Kovalevsky成为女数学教授一事为"无用、有害、不愉快的"。关于没有 Nobel数学奖的最大八卦，无非是Mittag-Leffler与Nobel是"情敌"的传言，这已被史学家认为是子虚乌有。但 Mittag-Leffler的传记作者Stubhaug指出，如果 (虚拟语气) 在这两位瑞典绅士之间存在一位红颜，那就只能是Kovalevsky。
知性优雅的Kovalevsky来到瑞典不久即成为Stockholm上流社会的一颗明星，尽管她实际上过得并不快乐，其间曾几度打算离开，年仅41岁就卒于肺炎。Kovalevsky还是Mittag-Leffler的作家妹妹Anne Charlotte Leffler的好友，二人曾合作写过两个关于在男权社会中妇女地位的剧本。Kovalevsky说： "对于我来说，诗人能夠感知他人所不能感知，并且看到比他人更深刻的东西，而数学家也是做同样的事情。" "如果没有诗人的灵魂，是不可能成为数学家的。"为纪念这位杰出女性，瑞典数学会每年11月举办Kovalevsky日，向对数学感兴趣的高中生普及数学知识。Mittag-Leffler研究所院内矗立着Kovalevsky的铜像和一个Mittag-Leffler为其卒于1892年的作家妹妹Anne Charlotte立的纪念碑，好像诉说着Kovalevsky与Mittag-Leffler兄妹二人惺惺相惜的旷世友情，与山河共存。
相信每一位学理科的女生都曾经把Marie Curie (居里夫人) 当作自己的人生楷模，但多年来鲜为人知的是，作为女性和波兰移民，Marie Curie曾经遭受过种种不公正的待遇，而Mittag-Leffler在她两次获得Nobel奖的过程中均起了重要作用。1903年的物理学奖被提名者开始只有发现电离辐射现象的Henri Becquerel和Marie的丈夫Pierre Curie，Mittag-Leffler得知此事后，于当年六月份写信向好友Pierre Curie通报并了解在此项研究中Marie所起的作用。在得到肯定答复之后他即向评委会申诉，因此Marie Curie才获提名，成为首位女性诺奖得主。
后来Marie Curie又因发现镭和钋元素并提纯和研究了镭元素的性质及其化合物于1911年获得化学奖，但由于她在丈夫过世后与物理学家朗之万的不伦之恋， 瑞典著名化学家、物理化学学科的创始人Svante Arrhenius代表保守的皇家科学院写信建议她自动放弃这次诺奖并取消来Stockholm的领奖行程。出于对Marie Curie的科学成就和人格的尊重，Mittag-Leffler立即致电Marie让她不要听从科学院的侮辱性提议。Marie Curie在给Arrhenius的回信中说："科学和个人生活无关，我将依我的信念行事"，并如期前来领奖，从而成为第一位二次获诺奖的得主。一百多年前女性的科学之路是何等艰辛，而Mittag-Leffler的男女平权意识和义举更是超越时代、难能可贵。
数学天才、解码高手、自然之子 Arne Beurling
前些年由于电影《模仿游戏》的上映，英国数学家、逻辑学家和计算机科学之父Alan Turing进入公众视线。对于Turing，人们至今仍津津乐道的是他在二战时期成功破解德军的密码机"谜 (Enigma)"的故事。实际上在战争期间很多顶尖数学家参与了盟军的密码破译分析工作，其中一位就是瑞典著名数学家Arne Beurling (1905-1986，左上图)。二战期间Turing在英国军方负责对德国密码的破译分析工作，而Beurling则在瑞典情报部门负责对俄国密码的破译分析工作，后来又被调去破译德军密码。巧合的是，二人破译密码都是业余兼职，正业均为大学教授。不同的是，战后Turing继续他在计算机科学方面的研究并被誉为计算机科学之父，而Beurling却作回了分析数学的老本行。Beurling没有得到一点点对加密技术性质的暗示、也从未看到过所使用的机器——一台西门子Chifrierfernschreiber T52a (右上图)，他仅仅靠电传打字机的纸带和密码文本，就在两个星期之内破解了密码，据说比Turing破解的Enigma密码更难。
当Beurling被问起是怎样破译这些密码时，他回答说："魔法师从不揭示自己的秘诀"，但他曾向友人稍稍透露，在破译过程中数字3和5是关键。他的这一壮举被认为是密码学史上最伟大的成就，曾被列入人类历史上十大最神秘的、被带进坟墓的未解之谜。但直到上世纪九十年代，随着瑞典在二战期间破译分析德国密码的工作被解密，Bengt Beckman所著《电码译员：Arne Beurling和二战期间瑞典的密码计划》一书问世，Beurling的这一功绩才逐渐为世人包括本国人民所知。在瑞典Beurling被视为民族骄傲，他的功绩足以为当时瑞典政府的对德绥靖政策雪耻。几年前的一天我和朋友去斯京东郊Lindingö岛游玩，沿着海边散步，偶然路过一个宅院Elfviks Udde，竟然是70多年前 Beurling破解德军战略密码的地方 (下图)。据2015年九月瑞典《新技术》报载，受影片《模仿游戏》启发，瑞典的几位电影导演也计划分别将Beurling和Kovalevsky的故事搬上银屏。
更神奇的是， Beurling破解密码只是客串，他其实是分析数学的一代宗师，一位不可多得的数学天才。Beurling早在学生时代就已初露锋芒，1924年他高中毕业后进入Uppsala大学学习，其博士论文的主要结果是证明了关于全纯函数渐进值的Denjoy猜想。但是他并没有及时发表研究成果，而是跟随父亲跑到加勒比海捕猎鳄鱼，因此他的博士学位答辩一直拖到1933年。芬兰数学家Lars Ahlfors差不多同时证明了Denjoy猜想并第一个发表了后来被称为Denjoy–Carleman–Ahlfors定理的结果，因此与人分享了1936年第一届Fields奖，而Beurling却失之交臂。Beurling博士毕业后担任Uppsala大学教授，他从青年时代就开始了将复分析、调和分析、位势理论融为一体的独创历程。他在1935年发表的关于单位圆上全纯函数特殊集的论文，开启了他的学生Lennart Carleson五十年代在这一领域的里程碑式的工作，并影响了八十年代后发展起来的抽象概率论。
Beurling于1938年首先开始对Banach代数的研究，比这一领域的奠基人Israel Gelfand还早一年，而后者是二十世纪世界排名前十的数学大家。1954年Beurling成为普林斯顿IAS终身教授并继承了Einstein的办公室，五十年代末他与Jacques Deny合作，提出了Direchlet空间这一全新概念并给出其公理化体系，Direchlet空间的理论在Markov过程、扩散过程、多复变函数及无穷维分析等领域都有重要应用。Beurling的多篇论文对于分析数学不同领域的发展具有划时代的意义，Ahlfors和Carleson在一篇纪念文章中写道："Beurling的精神遗产将会对数学家们产生多年影响，甚至会影响几代人"。Uppsala数学系图书馆以Beurling的名字命名，2005年他诞辰一百周年时，Uppsala数学系曾召开学术会议纪念这位杰出的数学家。
"天才"这个词常常出现在Beurling的多位学生与合作者的回忆中，据说Beurling像艺术家一样看待数学的纯粹之美，在他的心目中数学如同上帝的馈赠，他心灵的一部分似乎是在与上帝对话。Beurling很少阅读同时代数学家的文章，而且还是个"任性"的完美主义者。与Beurling合作多年的法国数学家Paul Malliavin回忆说，每当Beurling得到一项结果后总要放一段时间，直到找到了"初等并且透明"的证明之后才会拿去发表。因此Beurling的许多手稿都是没有发表过的——就像艺术家从不将自己的未完成作品示人一样，颇有早年Johann FriedrichGauss等大神的遗风。Ahlfors还说："在Beurling所做的每一件事情中，他的天赋无处不在"。
在Beurling的数学工作中似乎深藏着某种来自北欧原始森林的魔力——非常Swedish Style，Carleson说他是 "瑞典大自然——森林、湖泊、山川——的一部分，因而更看重数学之美而不是其难"。瑞典著名数学历史学家Lars Gårding还说Beurling的 "强烈个性和自我意识充分反映在他的学术论文中，并使读者感到似乎被一只强有力的大手带领着走过引人入胜的自然风光 "。Beurling的母亲是贵族之后，他的父亲曾经是一位船长，在波罗的海的一次航海事故中遇难，因此在Beurling身上兼具豪放的北欧海盗遗风和贵族绅士气质。他喜欢打猎、扬帆、喝酒，他的兴趣除了数学之外还包括莎士比亚作品和瑞典古老诗歌，但他既不喜欢听歌剧也不会跳舞。Beurling既热爱自然、体格健硕，又性格内向、不善交往，他有些神经质，特别是秋季容易忧郁。Beurling很有幽默感及女人缘，但别人似乎很难找到抵达他精神世界的入口。他的一生中曾有过两次婚姻，对家庭富有责任心，对妇女的看法老式传统。
由于与Uppsala的同事关系紧张、又不满瑞典的官僚体制，Beurling于50年代初移居美国直到终老。但在那里他一直非常孤独并且没有家的感觉，在普林斯顿期间他只与少数同行交往，从而使得他对现代数学发展的影响被大大低估了。这一方面是由于五十年代初期分析数学的潮流已经从经典分析转向抽象分析，另一方面也是他的性格使然。Beurling始终怀疑别人都和他作对，但从未意识到他可能无意中伤害了别人，却又在不觉知中伤害了自己，一个典型的例子就是他与Lars Ahlfors的关系。Ahlfors获得首届Fields奖时只有29岁，是数学星空中一颗耀眼的明星，其国际知名度比Beurling要高得多。
来自Scandinavia半岛的这两位数学高手性格迴异，但自青年时代就结下了深厚的友谊。虽然Ahlfors只比Beurling年轻两岁，但他始终感觉自己在身强力壮的Beurling面前像个孩子，而Ahlfors冷静沉稳的性格也像磁石般吸引着敏感多疑的Beurling。无论是二战期间他们在Uppsala一起度过的艰苦岁月，还是战争结束后Beurling应Ahlfors之邀在哈佛大学工作的两年时间，都在二人的心中留下了难忘的回忆，Ahlfors多年后说那是他生命中"最美好的时光"。五十年代Beurling移居美国后，与Ahlfors的友谊也原因不明地中断了，或许就是传说中"友谊的小船说翻就翻"。直到1984年二人在一次学术会议上不期而遇，Beurling拍了拍Ahlfors的肩膀说了声＂Hi Lasse＂—— 只有家乡人才这样称呼Lars的，一切尽在不言中，而那时Beurling已诊断出身患癌症。
两年后十月份的一天，Beurling的夫人打电话给Ahlfors说Beurling想和他见一面。Beurling那时身体已很虚弱，在Ahlfors前去看望他之后不久就过世了，为这段美丽动人的友情画上了句号，又过了十年Ahlfors也与世长辞。Beurling始终怀念在Lappland狩猎以及在故乡瑞典西海岸扬帆的日子，他去世后终于回到了家乡，遗骨安葬在斯京Norra kyrkogården的家族墓地，该墓园也是Alfred Nobel和Sonja Kovalevsky长眠的地方。从Beurling不由想起了他的同胞——好莱坞巨星Greta Garbo(1905-1990)。虽然这两个人完全风马牛不相及，但相同的是他们同一年出生，先后到美国发展，而且都不很适应新大陆的生活。尽管如此他们也没有回头，而是终老异乡。也许对于所有游子来说，故乡就是一个永远回不去的地方。(未完待续)
【后记】本文原稿于2016年7月发在新浪博客，上图是几天后的2016年7月29日笔者的微信朋友圈截图。文章投送《数学文化》期刊并于当年发表，2020年《和乐数学》公众号获得授权推送。去年偶然发现这篇文章重现江湖，只是作者或/和标题都改了名字。图片也颠三倒四的，但文字都一样。最早的盗版出现在2016年8月5日，新浪链接已经打不开了，我自己也犯了糊涂，被盗五年竟浑然不知。好在我的朋友圈留了底，标题和作者都可以造假，但时间造不了。最恶劣的是2019年11月20日《M数学经纬》的盗版，标题变成了《瑞典最古老大学走出的数学家》，作者变成了“东润公益基金会”，故立此存照 (下图)，读者可自行搜索这个基金会。
拜托盗也盗得专业点，比如把第一段中“笔者从上世纪八十年代末至九十年代中期在Uppsala大学数学系读书和工作”这句话去掉，这真应了一句北方俗语：“窝头翻个儿现大眼”。每个盗版都用了Uppsala大学主楼的图片，开始我没想明白为啥下图中标注成“Gösta Mittag-Leffler”，后来恍然大悟，原来是在和楼前的雕像较劲。其实这是瑞典最伟大的美学家和思想家Erik Gustaf Geijer (1783-1847)，曾于19世纪上半叶几次出任Uppsala大学校长，他去世时Mittag-Leffler刚刚一岁，所以想当一个有文化的盗还需要学习。这座主楼是每个Uppsala人毕业加冕的地方，我们在这里经历了各自人生的高光时刻。上图原帖点赞的朋友中，有一位与我同一天戴上博士桂冠，翻老账发现了朋友留下的印记，但他去世已经快五年了。
