一个打脸中间轴定理证明的例子

戴榕菁

1.背景

前文“那就来聊聊数学”【[1]】中指出对太空站中的贾尼别科夫效应进行所谓的稳定性分析的人所采取的是据说将近两百年前法国数学家和物理学家Louis Poinsot的方法，其出发点是外力矩为零的刚体运动欧拉方程【[2]】：



其中I₁，I₂，I₃是物体的主惯性矩且被假设为

I₁ I₂ I₃

ω₁，ω₂，ω₃是沿着三个主轴方向的角速度分量，是三个主轴方向的角加速度分量。

我在那篇文章中只讨论了与贾尼别科夫效应有关的情况，也就是旋转物体发生翻转的情况。为了打脸他们的证明，这里我们来完整地看一下他们的证明。首先，他们考虑绕最小惯量轴的转动。他们在上面方程组的(2) 式中对时间求导，因为在绕最小惯量轴的转动中很小，所以忽略掉结果中的项，然后将(3)式中的代入求导的结果从而得到：

                      (4)

因为I₁ I₂ I₃，所以(I₁ – I₃)( I₂ - I₁)


由此他们得出结论说，（因为与符号相反）会得到抑制。用白话解释，就是说假如是正的，那么沿着的方向的角加速度就会在那个方向上减小，如果一开始为零，那么就会出现一个负的使得变得越来越小。当变为0时，为零，此时将继续保持负的从而产生反向的，但这时反向的也将产生，使得负开始变小，反向的继续增大直到降为零，然后反向的又开始变小。。。。

他们认为这样的运动是稳定的。并且，他们说这一结论也适用于绕最大惯量轴的旋转，所以在太空站中的物体绕最大和最小惯量轴的旋转是稳定的。

然后他们将上面方程组的(1)式对时间求导，因为在绕中间惯量轴的转动中很小，所以忽略掉结果中的项，并将(3)式中的代入求导的结果从而得到：

                (5)

因为I₁ I₂ I₃，所以(I₃ - I₂)( I₂ - I₁) > 0，所以

       

由此他们得出结论说，只要一开始的时候ω₁有一个非常小的值，就有一个大于零的值，也就是说会越来越大，所以运动是不稳定的从而会出现翻转。

上面这套论述就是现有的据说是来自近两百年前的Louis Poinsot的证明所谓的中间轴定理的内容。

2.打脸现有的稳定性分析

现在我来考虑这样的条件：I₂ I₁ = I₃ 或I₂ > I₁ = I₃，这样一来(4)的右边等于零，因此如果一开始为零的话，它仍然可以永远为零，按照他们的逻辑，这时绕轴1和轴3的旋转应该仍然是稳定的；但是，这时(5)的正负号就要颠倒了，也就是说这时我们不再有

而是会有：



这样一来，按照他们的逻辑这时绕2轴的旋转也将是稳定的了。但下面这个视频告诉我们实际情况显然不是这样的：

https://www.youtube.com/watch?v=Xrf1HzFJ8jc&t=39s

3.讨论

上面的例子告诉我们自1834年以来人们对于中间轴定理的分析逻辑是错的！我之所以说他们的逻辑错了，是因为按照他们的逻辑会得出与实验结果相反的结论。

但另一方面，不可否认的是，按照他们的逻辑也确实得出了在I₁ I₂ I₃的前提下绕2轴的运动会与绕1轴和3轴的运动不同这一结论，只不过如我在“那就来聊聊数学”【1】一文中指出的，他们的这一结论本身又有着很大的瑕疵：他们由于未能描述翻转的运动过程而似乎暗示物体在开始翻转之后就无法用欧拉方程来描述了，而无法用欧拉方程描述这一点本身又意味着违背角动量守恒，但他们的分析显然无法解释正确为什么角动量守恒会被打破。

这里我们面对着这样几个问题：

1）为什么会出现角动量明显不守恒的现象？

2）为什么由Pointsot简化了的欧拉方程会得出角动量不守恒的结果？

3）为什么明明Pointsot的证明逻辑错了，还能正确地指出在I₁ I₂ I₃的前提下绕2轴的运动会与绕1轴和3轴的运动不同这一结论？

这是三个不同层次的问题，彼此之间既可能相互关联也不一定就有着必然的联系。

假如从角动量守恒出发的欧拉方程的推导或Pointsot对欧拉方程的运用中存在问题，那么上面的第一个和第二个问题就是两个完全不同性质的问题。。。。但是，如果欧拉方程的推导没有问题而且Pointsot对欧拉方程运用也没有问题的话，那么上面的第一个和第二个问题就是两个彼此关联的问题了。

至于说第三个问题，显然与前两个问题的性质不同。首先，尽管实验的结果表明他们用来得出中间轴定理之结论的逻辑明显不成立，但那只是对于数学结果的解释上出了问题，而并不等于说他们的数学推导本身有问题。第二，至于说为什么用被实验证明错误的逻辑可以得出在一定程度上正确的结果这一点，一个简单的答案是碰巧了，但也可能真正的原因并不那么简单，而是与前面两个问题象关联。

。。。。

过去这些年曾有网友在我的文章后面问我要如何进行形而上的分析。我这里列出三个问题这种做法就是比较典型的形而上的分析形式。。。。这里涉及到的逻辑其实相当复杂，而通过形而上的分析可以把这里所涉及到的复杂逻辑整理清楚，这样可以便于日后的进一步研究分析。

4. 结束语

在过去一个多月里关注了我对于贾尼别科夫效应的讨论的读者在看完上面那个视频后可能已经发现我在之前的文章中已多次用到该视频，因而可能会产生这样的疑问：为什么我之前没有看出该视频实际打脸自1834年以来对于所谓的中间轴定理的证明逻辑呢？

这里的答案其实既有点辛酸也很特别但也伴随着属灵的喜乐。。。。其特别的程度已经达到我无法解释的程度，有多特别呢？答案是：如果不是我亲身经历，任谁和我说，我也不会相信会有这样的事情发生。。。。鉴于此，我就无法用简单的语言在这里描述过去几个月发生在我身的“怪”事了。。。。当然，更重要的是：上帝一直在保护我，使得我未被击垮，而且我坚信上帝会救我脱离目前的危险处境！

不过过去这几个月的艰辛确实在一定程度上影响了我的哲学阅读，调研和写作。但与此同时，感谢上帝的看顾和带领，我的灵命则在大大成长。我相信看到在那样的持续重击之下我不但能挺到现在并身体保持基本健康而且灵命不断成长，气得哇哇叫的是魔鬼！

感谢上帝！一切荣耀归于上帝！

 

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【[1]】戴榕菁 （2025）那就来聊聊数学

[[2]] Wikipedia. Tennis racket theorem. Retrieved from: https://en.wikipedia.org/wiki/Tennis_racket_theorem. Last edited on 29 November 2024, at 06:27 (UTC).