皮皮虾:【马立平谈数学】

这是一道新加坡数学课程五年级的题目，如果你不用解方程的方法来做，只用算术的方法，看看你能不能解出来？

傻眼了吧？是不是做不出来？别泄气，据马立平说，斯坦福的数学教育教授也做不出来。上周末，马立平在图书馆做了一个《变中思不变－美国小学数学教育改革百年考》的讲座，这道题是她在讲座上分享的。

而中国大陆的五年级的孩子们几乎个个都能做出来。你也许不相信，当年你在小学的时候也能做出来，只不过自从你学了方程以后就退化了，不会再用这种算术的方法做这么复杂的题目了。

我知道你很想知道算术怎么做这道题。好吧，现在给出你答案，你好好琢磨一下每步的思路。

可是这道题所有的美国小学五年级的孩子能做出来的，凤毛麟角。不信你回家让你家的孩子做做，就算他是初中生或者高中生也未必能用算术做出来。

有人认为，既然有方便简洁的代数方法解方程来做，有必要要求小学生学这么复杂的算术方法吗？

质疑有效，当时有家长就提出了这个问题，马校长也给出了回答，但也许时间有限，她没有展开讲，只是说基本上这是一种思维的训练。现在本虾来试着回答一下这个问题。

第一，同意马校长所说。虽然有更快捷的方式，但是整个数学的训练就是一套思维的训练。不能因为有高级的方法就跳过了初级的方法，因为它是一种增强概念的理解方式。我们觉得我们代数学得好、方程解得快，那是因为我们在学算术的时候，已经通过这种复杂的算术运算增强了对概念的理解，所以打好了基础，在代数学习的时候可以非常游刃有余。好比你吃第四个馒头就饱了，不能由此判定前三个馒头不用吃。美国学生的代数学不好，就是因为他们的算术没学好。

第二，数学的学习不仅仅是简单的能把一道题做出来而已，而是一种能够让学生从中体会用不同途经(approach)、不同思路、不同方式解决问题的数学之美。

记得本虾初中上学时非常享受平面几何的学习。有时一道题下来被老师叫起来，当堂口述证明过程，内心有一种朗诵诗歌的快感。当然有的时候，遇到极难的几何题目，也花费很长时间去解(老师对这种题从来不会当场叫人起来做的)。后来学了解析几何，发现这真是一条捷径。只要通过列出几道解析方程，就可以求得或证明结果。可是，难道我们不需要学平面几何吗？我敢说这种超级缜密的逻辑思维的训练，即使是文科学生都是需要的。如果想做一位好的律师，平面几何就一定要学得好。

做数学题当然可以思考有没有巧妙的解法，但学习本身没有捷径可走。台上一分钟，台下十年功。马校长分享的钱文忠的话很有道理：凭什么教育要是快乐的？我实在想不通。教育怎么会一定是快乐的？教育一定有痛苦的成分，这是不言而喻的。

想起本虾所遇到的最难的一道几何题需要加八条辅助线，那是高我一年的升高中考题。居然我同学的哥哥在考场上做了出来，得了满分(几年后去了清华)。大学毕业后本虾与同事讲起这件事，几年后这人忘了从我这里听来的，吹起自己当年数学多么了得，居然说他自己把一道数学题加了八条辅助线做了出来，＂震惊全校＂。相似的事情不同的人不同的场合本虾遇到过好几次了，并不是他一人有类似作为。不过至少说明中国的社会风气是以才能为荣的，不象现在的美国充满了反智的文化。

还有一道物理神题，居然可以有九种不同的解法，记得有用动量冲量的办法，有用能量守恒的办法，等等。一般来说，物理题很少可以用多种方法来解的。好可惜本虾没把这两题保留下来，要不然给自己孩子看看一定会让他们开眼的。

下面这道题是著名数学家丢番图(Diophantus)墓碑上的文字，也是马校长在讲座中分享的。这道题也是本虾非常喜欢的一道题，中学时代本虾办黑板报的时候曾经用过这道题。岁月的流逝，经过了这么多年，又出现在本虾的眼前。经典就是经典啊！

丢番图是古希腊亚历山大后期的重要学者和数学家，他是代数学的创始人之一，对算术理论有深入研究，在希腊数学中独树一帜。

上图解法是算术解，题中只有一个四年和五年是具体数量，所以要考虑这九年占的分率，相除即可得出单位“1”即丢番图活的岁数。

如果用方程解，可以设丢番图活了x岁，于是

x=1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4
x=25/28x+9
3/28x=9
x=84
所以丢番图活了84岁。

读者可能注意到了，马立平被本虾称呼为马校长。或许你想不到，她这个校长不是数学校长，而是中文学校校长。她创立的斯坦福中文学校已经二十多年了。本虾儿子女儿曾在该校学习中文多年，以前和马校长曾多次见面，不过那时只是家长和校长之间的简单互动。

自从本虾公众号刊发了《美国数学战争百年演义》的系列文章，点击量转发量很大。该文章引起了马校长的关注，使本虾有幸得以真正认识了这位久仰的教育家。

那次由马校长提议的几人聚餐是本虾第一次和她的深入交谈。马校长早已加入本虾公众号，读过本虾许多文章，显然她已在心目中自己想象了本虾的形象。当见到本虾后，除去觉得似曾相识被证实以前见过外，还流露出与自己想象中的落差。

其实本虾还算五官端正，但从马校长的眼神中可以看出，她想象的形象不定多么儒雅清朗呢。这种情况近来多次出现在＂见光死＂的场合里，看来以后要学钱钟书避免见光，除非学习朝鲜电影《原形毕露》中的白桃花在韩国做个美容手术，以徐志摩的形象示人。想来七十年代北朝鲜就已经为韩国的世界顶尖技术作了软广告，来自敌人的赞美应该是最可靠的。

马校长编写的中文教材内容生动、贴近海外少儿的生活、教材设计独具匠心和特色，有三点特别值得称许：一是三年级以后才学拼音，避免了对拼音文字有天然喜好的海外儿童认字时不看字只看拼音、最后出现离开拼音只有字的时候不识字的怪事。马立平的教材＂强迫＂初学者直接认字，在巩固认字能力的三年级后再引入拼音，既避免上述弊端，又使学生掌握拼音方法便于查字典或电脑拼音输入。二是不强求学生会写字，这一点大大减少了学生学习的难度和厌烦情绪。现代科技的发展已使写字能够通过电脑来完成了，这项课程设计完全与时俱进。三是作业的完成基本上通过电脑，而且是以游戏方式寓教于乐，将家长从繁重烦琐中解放出来。

但是马校长是数学教育背景出身，她自斯坦福教育学院毕业，获得课程设计专业博士学位。她关于小学数学教育的学术专著＂Knowing and Teaching Elementry Mathematics＂由 Lawrence Erlbaum出版，此后又出版了韩文版、西班牙文版和葡萄牙文版，后来又有了中文版《小学数学的掌握与教学》，在国内引起很大反响。2006年, 马立平接受联邦教育部长提名，以数学教育专家身份，进入美国总统的16人数学决策顾问团“national math panel”。

马校长在讲座中反复引用了她在华师大的导师、校长刘佛年的话：搞教育一定要实践，用一半时间都不少。前面提到的那个美国教授为什么用算术做不出小学数学题？因为美国的数学教学体系脱离实践，自从上世纪五十年代以来就散掉了！这个教授就是受害者之一。

下图显示，美国的小学算术只教了四个重要组成部分之一，而典型的应用题，诸如灌水放水相遇追击，根本不涉及。记得中央台有个名嘴嘲笑说，真不明白谁吃饱了撑的，算术题里还有同时两个水龙头灌水又在另一边放水的。是的，数学是思维的体操，就是吃饱了撑的人想出来让大家去做健脑锻炼的。这位名嘴真是无知，不知道思维训练就是在看似没道理的虚拟情况下演练的。照他那么说牛顿定律都不要学了，因为摩擦为零的假设在生活中根本不存在。

美国受进步教育思潮的影响，加上1957年前苏联人造卫星上天造成的刺激，不断进行花样翻新的教学＂改革＂，常年的、缺乏主心骨的改革动荡使教师的专业队伍建设非常混乱、无所措手足，学区领导和家长社团意见纷纷，各种专家(学习心理学、儿童心理学、认知科学)的各种理论五花八门，改革过程出现过的学术思想资源令人眼花缭乱，略举几个如下：

• 杜威（进步教育）

• 桑代克（行为主义）

• 布鲁纳（结构主义）

• 皮亚杰（发生认识论）

• 奥苏贝尔（先行组织者）

• 维果斯基（最近发展区）

• 加德纳（多元智能）

• Cognitively Guided Instruction

反观中国，小学数学教学内容显得严谨(不同于美国的散乱)，有一个内在的、统一的理论体系。虽然这套体系并非原创、引自前苏联，但一直稳定地保存下来(近年由于盲目学习美国的＂先进＂，正在把这套体系搞散)。其实美苏都对这套体系有贡献，但美国在小学算术理论体系的雏形建立起来之后，又放弃了它。本虾在马校长的讲座中曾插话说，现在美国小学搞的那一套Common Core体系，是在用学语文的方式做算术题，学生会越学越糊涂。

下图是中国小学数学内容结构，可以看出这些内容的顺序有着严谨的承接关系，不象美国的体系，东一榔头西一棒子，最终学生会像猴子掰白玉米一样，边掰边扔，根本巩固不起来。

下图是小学算术学科的数学理论体系。— 正是由于这种严格的体系使得中国的教师专业水平和学生的学习质量优于美国。

有人会说，那为何美国数学尖子不比中国差？虾曰：数学天赋好的孩子无论体系好坏所受影响都不大，何况他们有现代社会的丰富资源和能力(网上、家长、课外名师、自学)。而大家的孩子绝大多数是普通孩子，体系好坏所产出的结果是很不一样的。

又有人(抬杠)说，为何大量人才愿意来美，又为何美国科技发达、创造性并非受损？虾曰：美国相对公平的社会制度可以人尽其才，当然人们愿意择良枝而栖，但这并不证明它的一切体系都是完美的。何况科技发达也得益于一流移民的贡献(近年美国的诺奖得主大多是移民及其一代后代)，何况技术进步一般由少数精英的突破就可达成。但我们不能甘于糟糕的教育体系把大量孩子培养成平庸的缺乏竞争力的落伍者。这个话题不是本篇重点，在此不再展开了。

马校长在讲座中列出了三条美国小学数学教育改革的教训(第三条是她讲座前临时加上去的)：

1. “大敌当前”(指人造卫星所引起的恐慌)时不够理性的结构性大改变，伤筋动骨；

2. 缺乏耐心，忽视积淀，造成学术思想资源的浪费；

3. 教育受政党政治斗争的影响。

那么，面对这种局面，处在变革点上的家长该怎么办呢？马校长给出了以下的处方：

1. 了解孩子的秉性；

2. 普通资质孩子的小学数学要抓好“双基”：一个是运算能力，另一个是写算式的能力，尤其是多步运算应用题写出一步算式；

3. 争取系统化教学，积极寻找资源；

4. 抓住本质，即抽象能力和逻辑性。

在马校长的四点建议之上，本虾愿厚颜再加一条：积极关注和参与学区建设，阻止极左脑残提案的通过和推行。最近，邻近硅谷的三谷地区的学区，为了照顾某些＂弱势群体＂，居然悍然要取消数学分班，强压数学资质良好的学生去上对他们来说乏味的低班课程，这其实不但耽误人才培养，也损害美国的国家利益。这种作法并非孤例，此风已在美国各地滋长。

面对反智主义的＂政治正确＂，家长们任重道远。请和马校长同行！

2018.1.27

虾注：感谢马立平在讲座后提供了ppt，本虾此文选用了部分slides。

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