剪不断，理还乱-谈谈相对论与GPS的关系
作者：徐令予
GPS定位系统依靠在高空作高速运动的卫星发送高精度的时空信号，它与相对论效应就有着不可分割的关系。近年来，隨着GPS设备飞入寻常百姓家，一些专家学者希望以GPS作为切入点，向大众作相对论的科普，这种良好的愿望当然值得赞扬，但是他们的分析和结论多数却是错的。反相对论者由此大做文章，一时间“大有炸平庐山，停止地球转动之势。”科学网上黃秀清教授的博文：“真相与真理：爱的谎言，深入谷底的悲哀。”就是一篇这样的代表作。但黄的分析方法有错误，结论更是荒唐，科学毕竟是科学，花团锦簇的文字岂能改变铁一般的科学事实。
为讨论的方便，我把这场争论中的双方分别称为“拥派”和“反派”，两词都不含"相字"，因为这场爭论虽与相对论有关，但两派关注的焦点是相对论与GPS的关系。为了让科学网热闹起来，我决定“拳打少林、脚踢武当，”力战群雄向两派同时开刀。两面出击本乃兵家之大忌，为让围观者尽兴我也顾不上这些了，如遭两派围殴赶下擂台，恳请诸位多给些宽容和同情。废话少说，两派英雄好汉请接招吧。
1）拥派是错的，而且错得离谱。相对论效应确会导致GPS卫星上原子钟每天走快38.6微秒[1]，拥派错误地认为：卫星时钟的误差乘上光速就是定位误差。他们以为可用一维模型来估算，即每天误差 ΔX = CΔt = 3x105x38x10-6 = 11.4km ，由此得出“未经相对论修正的GPS会把行人引进沟里，把汽车导入海里”这样的谬论。他们不知道定位主要决定于GPS接收机与多颗GPS卫星两两之间的相对距离差。
为了便于理解，假设在一个两维的平面上有三颗卫星A、B和C，它们的位置座标已确定，而且每个卫星上的时钟之间保持同步。接收机位于该平面上的某一待定点。我们从A和B的报时信号中发现：假如B的信号比A早到Δt 。由此可知，我们的位置离B较近，离A较远。我们必然位于与B和A的距离差为 CΔt 的位置上，因而接收机必定处在图中第一条红线上（这是一条二次曲线）的某个点。接下来我们再来比较B和C卫星的信号，如果发现它们的信号是同时到达，那么我们一定位于穿越B和C连线的中垂线上，即图中的第二条红线上。这两条红线的交点就是我们确切的位置。这里介绍的是二维平面的定位方法，三维立体空间的定位原理完全一样，只是再加上一颗卫星就可以了。
通过上面的分析可以清楚地看到，定位的精确性主要决定于不同卫星与被测点之间的距离差，而这个距离差又是来源于卫星的信号到达被测点的时间差，只要卫星之间的时钟严格同步就可以保证时间差的精确，卫星时钟根本不必与被测者当地时钟之间保持同步。事实是：即使不作相对论时钟误差修正，GPS的定位的最大误差每天不会大于15厘米[2]。
2）反派也不对，他们认为只要卫星时钟严格同步就足以保证得到精确的距离差，从而实现精确定位。这是只知其一不知其二，要知道GPS定位不只决定于距离，还与卫星的位置有关（也就是黄的公式（1）左边的 Xi, Yi, Zi 值）。
物理学讨论一切问题的前提是确定座标系。GPS接收机的定位是要确认其在地球座标系中的位置，因而必需采用固定于地球上随同地球转动的坐标系、即地球坐标系作为参照系。各卫星在地球座标系中的位置的计算必须使用精确的地面时间[3]。未经相对论修正的卫星时与地面标准时有每天38.6微秒的误差，经这些卫星时计算会导致卫星位置的误差，这种误差无法用差分法抵消，而且该误差会随着时间积累。但对于反派来说幸运的是：这部份误差很小，因为卫星的运行速度有限。
3）相对论效应引起的GPS定位误差的正确分析方法列于附件[2]，GPS定位的数值计算法列于另一附件[4]。这两个附件的要点是：
a)接收机时与卫星时之差在定位过程中是被当作一个变量来处理的，因此卫星时相对于地球标准时的任何误差都可被并入这个变量之中。在具体求解过程中，这一变量可在允许的范围内变化，以求出接收机位置的最优化解。
b)如上图所示，对卫星B和C而言，因为卫星时TB=TC，接收机与卫星B和C的距离相等，所以上面提及的时间变量的变化将导致接收机位置在卫星B和C之间的直线上移动。如果再考虑第三颗卫星A，因为卫星时TA与TB不同，接收机与卫星A和B的距离也不相等，但这个距离差是常数，因此接收机位置被限制在卫星A和B之间的一条二次曲线上移动。显而易见，两条曲线的交点即为接收机位置的最优化解。
c)整个定位过程的输入的参数仅是四颗卫星的时间和卫星的轨道参数，与GPS接收机的时间没有关系。由此可知，只要卫星时钟之间精确同步，卫星时与接收机时、以及任何其它参照时的误差基本不影响定位精确度。
d)卫星时相对于地球标准时的误差会导致卫星本身位置的误差从而导致有限的定位误差。
假设GPS系统每周校正二次，由此可知这部份相对论效应引起的GPS最大误差大约在半米左右（每天15厘米＊3.5天～0.5米）。其实整个GPS系统中还有更复杂的相对论影响应该考虑，但本文不再作深入讨论[5]。总体而言，相比于电离层、大气折射率和水蒸气等因素，相对论引起的GPS定位误差确实是次要的，甚至是可以忽略不计的。
4）但是GPS系统除了定位外，它还有授时及其它一些功能，相对论效应在这些方面却是不能忽略的。必须强调指出，相对论效应导致卫星上原子钟相比地面标准时间平均快每天38.6微秒，这可以被精确测量和验证的。事实上，每一卫星在入轨运行前都把原子钟调慢了相应的38.6微秒/天（又被称为"factory frequency offset"[6]）。这样做的好处是多方面的，经过相对论校正后的卫星时钟系统可以向全球各种地面和空中设备直接提供国际标准时间。当然这也同时改善了GPS的定位精度。GPS和北斗的卫星上原子钟都作了相应的"factory frequency offset"，这一点就是反相者无论如何也绕不过去的坎！
最具讽刺意味的是，黄自已却不知道，GPS系统定位中使用的公式与他的完全相同，卫星时钟的时间信号不作任何变换直接代入公式计算。因为每颗GPS卫星升空前把原子钟调慢了大约38微秒/每天，升空入轨后的GPS的时钟受相对论影响变快，结果是刚好与地面原子钟精准同步。黄秀清教授恭贺你了，你与GPS的总设计师在处理相对论影响上真可谓“不谋而合”，相当地不容易啊。换了我是你，我是不会再坚持说GPS系统与相对论无关了，顺水推舟作个相对论的支持者和科普工作者又有什么不好呢，知错能改，善莫大焉。
做个结论：相对论决定了星地原子钟之间会有每天38.6微秒的误差，而且该误差会随时间而积累，但由此引起的最大定位误差不会超过半米（绝非耸人听闻的十一公里），相对论效应导致的GPS定位误差是极有限的。GPS卫星上原子钟入轨运行前调慢了每天38.6微秒，这就保证了星地原子钟的精确同步，这样做的主要目的是为了保证GPS授时功能的精确性，当然客观上也进一步改善了系统的定位精确度。
同时本文还想通过GPS这个复杂的系统，进一步分析科学理论与工程技术之间的关系。在有关爱因斯坦的故事中都提到他在四、五岁时得病卧床多日，假如当时他没有挺过那场重病，假如直到现在这样的天才一直没有再出现（毕竟这样的天才在历史上需要几百年才能出一次），那么直到现在很可能还没有相对论[7]。在没有相对论的日子里，我们“马照跑,舞照跳。”物理系的学生也少了些烦恼。而且我们照样可以有GPS，定位的精确度也一点不会差到哪里去。因为聪明的工程师团队一定会发现GPS上时钟与地面时钟之间的系统误差，尽管他们可能不知道这个误差背后的物理原因，但通常他们会引进若干可调参数，通过统计的曲线拟合法找到这个误差的精确值，并通过各种技术手段把这个误差消除掉。工程师们怎么可能对一个固定的隨时间积累的系统误差放任不管、束手无策呢？其实在大型工程项目中的一些难题很少是依靠物理理论来解决的，可是工程师们创造的奇迹却常常让物理学家叹为观止。
但千万不要认为我是在否定相对论的重要意义，没有了相对论的指导，工程师们要化费极大的代价去寻找和分析系统的误差，找到了总误差后，也很难把相对论误差与其它因素引起的误差分离开来，因而进一步的误差修正就变得很困难。更重要的是他们对修正GPS系统误差所作的努力只与特定的系统有关，他们的方法和经验有很大的局限性，这必然失去普遍的指导意义。具体来看中国的北斗导航的建设，由于北斗卫星的轨道半径的不同，中国的工程技术人员必须从零开始通过自己的长期摸索找到系统的误差并寻求最好的方法消除误差。现在有了相对论，我们十分清楚时钟误差的原因和计算误差的方法，所以可以轻而易举地把卫星上时钟调慢相应数值，把GPS的定时误差減到最小。事实上北斗导航系统对相对论影响的修正就是这么做的。
总之GPS与相对论的关系颇为复杂，网上的维基百科，甚至美国大学的一些教程都提供了一些错误资讯，许多人是雾里看花、人云亦云，科学网上好几个名博也不知深浅被缠了进去。连方舟子在这个问题上也踩进了坑中，看看他是怎么说的：“...如果我们考虑到GPS系统要求纳秒级的时间精度，这个误差就非常可观了。38微秒等于38000纳秒，如果不加以校正的话，GPS系统每天将累积大约10千米的定位误差，这会大大影响人们的正常使用...[8]”
方舟子在GPS问题上犯错本不奇怪，但是他的这篇文章放在了北斗导航的官网的首页，令人费解。希望北斗导航网的编辑能关注科学网的这场十分有意义的爭论，并对方舟子的文章作出相应的处理。
感谢:本文是我和好友王博士在电话中、在球场上数十小时讨论（甚至激烈爭吵）的最终结果，文中附件[2][4]均由他提供。请诸位把一切点赞送给我，把所有板砖砸向他，
嘿嘿。
[2]附件 GPS Error without Relativity Correction.pdf
[3]地球座标系和卫星位置计算附件：座标系及卫星位置计算.pdf
[4]附件 GPS position determination.pdf
[5]]绝大多数讨论GPS与相对论关系的文章中，都把相对论效应局限于狭义相对论的动钟变慢效应和广义相对论的引力钟慢效应，本文也不能例外。但实际上地球的自转引起的SAGNAC效应中也包含了相对论效应，还有卫星轨道形状引起的相对论效应误差也不能忽略，这些相对论效应才是造成额外的GPS定位误差的主要原因。详见文献： https://www.aapt.org/doorway/TGRU/articles/Ashbyarticle.pdf
[6]受狭义相对论和广义相对论的影响，卫星时钟大约每天走快38.6微秒。在GPS系统设计时考虑到了这一点，在GPS卫星发射前，已经把其原子钟的频率与时间单位的比率调降100亿分之4.465，使卫星原子钟与地面标准时间同步。
[7]准确地说，没有爱因斯坦，狭义相对论很可能也会在二十世纪初建立，但广义相对论的诞生可能真的离开不了爱因斯坦-这位千年难见的旷世天才。
[8]http://www.beidou.gov.cn/2012/01/05/20120105b32bf90e15e94e26a119fd799788104e.html
[9]答疑: AnswersToComments.pdf
[10] GPS如何隐去相对论时间偏差 沈建其--2nd_Ed.doc
