数论（Number theory），是纯数学的一个分支。数论的研究对象是整数以及算术函数（以正整数为自变量）；旧时代称为算术或者高等算术，二十世纪初改称为数论。高斯说，数论是数学的皇后（the queen of mathematics），而数学则是科学的皇后。外行们听到Number Theory，总会误以为是Theory of Numbers；可后者所指的，差不多是整个数学了。另一个著名调侃是，数论是这样一门学科：在其中，一个傻瓜都可以提出一个问题，让一千个聪明人都回答不了！
大众能说得上的数论难题有：哥德巴赫猜想，费尔马大定理，黎曼猜想，abc猜想，华林问题（Waring’s Problem），孪生素数问题，离散对数问题，超越数的判定，等等。有很多本书，都致力于去列举数论中未解决的问题；当然，不定方程是永远列不尽的。整数不是最简单的吗，为什么有那么多解决不了难题？
首先，质数没有确定的表示式：它的定义本身就声明，不能在整数范围内分解。人们判定一个数是不是质数，基本的办法只有用比它小的数去除，看看是否除得尽。Wilson定理简捷明了，可是阶乘太大，实际上无法计算。最原始的Eratosthenes 筛法，要把从1到N的正整数全部列出来，再划掉上次剩下那个数的所有倍数；现代数论学家们研究 “1+2”、“2+3”等的办法，也是基于同样的办法，只不过是用某个“筛函数”表示而已；不幸的是，这个办法解决不了“1+1”，或算术序列中质数的分布问题。
在《初等数论》中，研究整除性的手段只有同余式。尽管在中国古代的《孙子兵法》中就有了孙子点兵、后来被称为《中国剩余定理》的算法，正式的模运算还是高斯在1801年（他24岁时）发表的《Disquisitiones Arithmeticae》中引入的。有此，线性不定方程的求解便是小事一桩了；单变量的多项式同余式，也可以按部就班地加以解决：这对于有理系数的多项式的根，提供了某种验证方法。只要采用p-adic数域里的收敛办法，也可以说，有理系数多项式的求根问题解决了。
不定方程整数解的存在性，可以用它的解数来估计：解数大于0，不就是有解了吗？方程 E(x, y, …) = n (n 正整数) 可以用函数Exp（2πi t (E – n)））对t在【0， 1】区间上的积分来表示: 积分为1的就是解，积分为0的不是解。对所有的整变量x, y, …在某个有限范围内求和，就得出了解数的表达式；于是，就有Hardy-Little wood的圆法。其本质是用有理数a/q去逼近t；对有的q值，三角和的模比较小，可以当成“劣弧”而计入次项；主项则来自于较小的q值。据此方法，前苏联数学家们解决了三素数定理（即“1 + 1 + 1”问题）；华林问题也得以解决。
另一方面，为了解决Fermat大定理，发展出了《代数数论》。为了证明方程x^n + y^n = Z^n，n > 2, 没有正整数解，对于n=4的情况，Fermat证明的是x^4 – y^4 = z^2没有整整数解；从而，对n为2的幂次时，没有整数解。对于其它的n, 只要证明n 为质数的情况即可。联想到勾股数是通过平方差公式、由因式分解得出的，对一般的n次幂之差，也可以分解因数；只是这时出现了单位代数整数，在代数整数环中的因式分解可以进行吗？Kummer为此引进了理想数，也就是一些代数整数的线性组合构成的集合。有了主理想和素理想，因式分解成立而且唯一。数学家们还导出理想数类、及其类数公式；Fermat方程对于一些特定的质数n也得到了解决。
Fermat大定理的最终解决，还得依靠椭圆曲线和模形式。1986年，格哈德·弗赖（Gerhard Frey）提出了一个猜想：如果费马大定理是错的，则椭圆曲线 y^2 = x(x – a^n)(x + b^n) 会是谷山-志村猜想的一个反例。1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor在一特例范围内证明了谷山-志村猜想，弗赖的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明了费马大定理。
椭圆曲线指的是方程y^2 = P(x)，其中P（x）是x 的一个三次多项式。一组m个变量的多项式在某个扩张域K上的全部解，构成K^m的一个子集；把它们按照模p^r同余计数，再构造指数型的生成函数—即Zeta函数Exp(
), 可以表示为t的二次有理函数，模运算下的解数问题便解决了。这些Zeta函数，还可以按照主理想分解成因式; 把所有这些函数对所有质数p乘起来、取t为p^(-s)，然后去除两个Riemann-Zeta函数，就得到了Hasse-Weil的L函数，以此便知椭圆曲线在所有有限域上的解数。
这些构造出来的zeta函数，都满足特定的函数方程：由此导致了模形式的一般定义；而模形式还只是一种特殊的自守形式。模形式的Fourier级数展开，就得到q级数；最基本的Eta函数，在整数分拆的计数中必不可少；theta函数，在把正整数表为平方和时，起着主导作用；也是Riemann Zeta函数解析延拓的收敛因子。Weierstrass购造的Phi函数--一类特殊的椭圆函数—复平面上的双周期亚纯函数，其导数就满足椭圆曲线的方程。Eisenstein级数就是因数函数的生成级数。
模形式本来是复变函数论的研究对象，但它的展开系数很适合表示积性算术函数；指数型的Zeta函数又非常适用于加性算术函数，所以也就成了数论研究的工具了。基于黎曼zeta函数与质数的联系，若能得出它的因式分解，质数分布的精确表达式就有了。一些五次方程的解，也可以用椭圆函数表示；模形式还可以用于代数拓扑、物理中的超级弦论等。
在《数的几何》中，我们要估计几何形体中的格点数目。为此要用上高维体积、各种不等式、实数的有理逼近、实函数小数部分的分布；结果可用于代数数论中有关基数的估计、复变函数的阶的估计、丢番图逼近等。正如物理中的不确定性准则，任何估计都不可能准确。数论学科的难处在于，没有积性和与加性积的转化机制；归根结底就是，运算自由与收敛性之间的矛盾不可调和。
