人类在对数量的认识上有三次飞跃。一是从正数到负数，二是从数值到变量，三是从静量到极限。变量尽管可以取不同的数值，但它本身还是静态的，没有体现变化的过程。从哲学上说，自然界的一切量都在随着时刻变化，没有人两次踏进同一条河；宇宙空间与时间是交织着的、不可分的。一个量的时间变化率（或者更高阶的时间变化率）才有可能是常量，即与时刻无关。为了理解瞬时变化率的概念，必须把时刻想像为连续的，即时间间隔Δt可以无限细分，或者趋向于零。至于Planck的最短时间间隔或者最小空间间隔，那是一个实验物理学家的认识极限，数学家们眼里的世界都是连续的、可以无限细分的。
数学是研究数与形的，但是“形”可以按照“维数”归结为点集：一条曲线是有连续的点构成，一个曲面由连续的曲线生成，一块立体则由连续的曲面层叠而成。再往上，三维立体堆积而成四维空间，比如我们的时空。维数，其实就是人类为了描述一个实体，所需要的自由变量的个数。有人说，人的大脑是26维的；也有人说，那是10维的；没有人能够弄得清楚。在数学上，任何一个k维形体，都可以用从R^k出发的对应（映射、变换或者函数）来表示。其中，R是实数集，一个具有连续基数的数域。关键是函数表达式的收敛性：你不能随手写一个连续和式，就声称那代表了一个世界里的所有东西，得有某种收敛性才行：最终要导出一个完备空间或者紧致空间。
在整个数学领域中，有三种收敛性的概念：（1）按照点间距离或者向量的范数收敛，即序列极限；（2）按照几何体的度量（如体积、面积等）或测度收敛，即体极限；（3）按照任意邻域包含所有后续项（映射是从一个有向集到一个拓扑空间）定义的网极限。前两种是分析学中的收敛概念，第三种是拓扑学中的概念，由Moore 和Smith在1922年引进；它包含了前两种收敛性。但是，只有当那个有向集是有限维的时候，才能开展分析学。
人类从自然数出发，引进0和负数，经过加、减、乘、除四种基本运算，得到了有理数集Q。有理数的个数是可数无穷大ω，因为它们可以被排成一列，即与自然数一一对应。有理数集形成了一个最小的无限数域；它是“无缝的“，即任何两个有理数之间还有一个有理数；但还有一些数，不可能由自然数经过有限次的四则运算得到，即是无理数，比如sqrt(2)。人们希望，我们的数系可以与一条直线上的点一一对应，可直线是连续的：日取其半，万世不竭；于是就有了Dedekind分割：把全体有理数分成两个不相交的非空集合A和B，使得A中的任何一个数都小于B中的任何一个数。如果A有最大的数，或者B有最小的数，此分割就得到一个有理数；如果A无最大数，而且B无最小数，就确定了一个无理数。比如，A = {x 
Q: x^2 < 2} ，B = {y Q: y^2 > 2} ，就确定了sqrt (2) 。有理数和无理数统称为实数。
实数集的基数是连续的c（Continuum）。我们有连续统公理：在ω与c之间，不存在其它的基数。比c更大的一个基数是2^c，即实数集的幂集，它与所有实函数之间有个一一对应。有理数集在实数集中是” 稠密的 “，即任何一个实数都是某个有理数列的极限。此外，还有其它7条互相等价的基本公理，用来描述实数集的完备性、紧致性和可分性。单调有界定理是其中之一，这是微积分中唯一提到的公理。
在实数集中，两个点（数x, y）之间的距离就是它们的差：|x – y|。在k维空间F^k（F是一个数域）中，一般采用欧氏距离来表示两个点之间的接近程度。但在一般的拓扑空间里，距离函数可以是任何满足三条公理（对称性、正定性、三角不等式）的任何一个二元实函数。这是法国数学家Frechet于1906年首先提出的；这三条公理也合符人们对距离的基本认知。在一致拓扑空间中，伪距离把正定性也去掉了；只要求一簇满足可分离性的二元函数。在爱因斯坦的相对时空中，两个事件之间的距离定义为：sqrt[ (cΔt)^2 – (Δx)^2 – (Δy)^2 - （Δz）^2]，除了非负性之外，其它公理都不满足，只是在Lorentz变换下，此式保持不变。可见，距离没有普遍的标准；也只有如此才能表达时空的扭曲和变化多端。
按照距离函数趋向于零，采用代数化的epsilon-N定义。给定空间中的可数无穷多个点{Pn}，当n趋向于可数无穷大时，{Pn}无限趋近于某个有限点P，指的是在按照某种距离函数d(Pn, P)接近于0。极限点的存在性，由空间的完备性保证。
在一个向量空间中（一定含有零向量），范数是一个一元实函数，要求满足正定性、三角不等式、齐次性（即，||ax|| = |a| ||x||，a是数，x是向量）。有了范数，便可定义距离：d(x, y) = ||x – y||；它满足距离三公理。但是，仅有距离，不能定义范数，因为向量空间需要有一种线性（代数）结构。
在P-adic数的理论中，引进了赋值的概念：有理数集上的一个实函数，满足正定性、可乘性[f(xy) = f(x)f(y)]、次可加性[ f(x + y) ≤ f(x) + f(y), 类似于三角不等式]。对于一个有理数a = (m/n)p^k，m，n, k为整数，m, n与素数p互质，它的p-adic赋值定义为 p^(-k)。两个有理数a, b之间的距离按照 （a – b）的p-adic赋值来定义；可以证明，在此距离下，p-adic扩张是一个完备集。
点列是离散的，它的极限（收敛性）可以按距离来定义。对于一个连续的形体，我们要用无穷细分、也就是微元的概念。最早出现的是黎曼积分，那是人们对于几何形体的度量的自然想法。先定义了矩形（直角形）的面积，再导出直（多）边形的面积，然后用直边形去接近曲边形（如圆）的面积；对于3维图形的体积也是如此。那些用来表示各个维度的自变量的微小几何度量，如角度、长度、面积、体积（3维以上都叫做体积），就叫做微元；二阶或以上微元的和式，都趋向于零，可以忽略不计。微元前面的系数，可以理解为依附于此微元上的某种量的密度。在黎曼积分中，密度必须要是连续的才可积，至少是（充要条件），不连续点的集合具有零测度。
测度是几何度量的推广，有多种不同的测度，这里说说Lebesgue测度。在k维欧氏空间R^k中的点集，可不只有连续区域。在一维实数集R的区间 [0, 1] 构造出来的Cantor集，惊掉了所有人的下巴：把它三等分，去掉中间的三分之一；再对剩下的区间如此操作，无穷尽地进行下去。最后剩下的部分就是Cantor集。被去掉的区间的总长度为1；Cantor集的测度是0，还是一个无穷闭集。
一个有限区间（闭、开、或者半闭半开）的测度就是它的长度；不相交的可数个区间的测度，等于所有区间长度之和。一个集合的外测度，就是所有包含它的开区间的测度的下确界；内测度则是所有包含于此集合的有界闭集的测度的上确界。当外测度等于内测度时，该集就称为Lebesgue可测的。不可测集合的结构是如此复杂，以至于不能赋予任何有意义的度量。Giuseppe Vitali在1905年还真是构造出了不可测的集合。可测函数由其取值范围来定义：如果集合E{x: f(x) ≥ r} 或者 F{x: f(x) < r}对所有实数r可测，函数f就是可测的。可测函数可以用一个简单函数列来逼近；可测函数在可测集上Lebesgue可积：int{f(x)dm: x E}可定义，其中m是Lebesgue测度。一些著名的黎曼不可积函数，如Dirichlet函数、黎曼函数，都是Lebesgue可积的。
Feynman积分是一个物体的作用（表示物体结构或能量信息的函数）沿所有连续曲线的和。为了保证收敛性，每一项需要乘以一个收敛因子。利用测度微元的思想，可以化为一个复围道积分。在复变函数中，解析函数的表示就彻底自由了！如果再加上相对论的考量，引入四元数，弦的运动方程就可解，而不仅仅是基本粒子的概率幅度表示。
在概率统计中，随机变量的序列有四种收敛性: （1）按照概率收敛，（2）以概率1收敛，（3）按分布收敛，（4）按照均值（期望值）收敛。概率其实就是随机事件空间上的一种测度。对于连续型的随机变量，可以定义概率密度，概率可以用积分表式示。离散型的随机变量的概率，可以用和式表示。混合型的概率分布函数，用事件空间上的连续和表示：概率密度乘以空间度量的微元，然后对所有基本事件相加。和式的收敛性由分布密度的非负性、组合系数的非负性且和为1保证。
一个空间里某种现象的发生的概率其实是未知的，我们需要通过抽样去发现其统计规律。一个统计量，就是不含未知参数、只依赖于观测值的可测函数。我们可以去估计样本的均值、方差、各阶矩等等，用它们去接近母体的相关参数。对于独立同分布的样本，可以证明，它的Z-Score, 当样本数趋向于无穷大时，Z-score按分布收敛于标准正态分布。也许我们可以把任何分布的Z-score近似地看成正态分布；但其均值与方差还是需要无偏一致统计量去估计。
一个大四学生上学期学了一门课，《概率论在工程中的应用》；他的感觉是，几乎要用尽所有的大学数学知识；其实呢，统计学的方法都没有涉及。我在大学里学《概率统计》时，那个女老师只会抄黑板，不会做任何原理的解释；之后我就自己去把每一个细节弄清楚。现在，在一个纯粹数学家的眼里，概率论已经很完善了—没有什么可以值得研究的了。在物理学中，人们追求一个大一统的理论；但在数学中，这是不可能的：没有一组式子能够描尽天下所有现象，也没有一组映射，能够实现所有的变换。
