千奇百怪——整数们的特别之处

0：加法不变，即0+x=x+0=x。
1：乘法不变，即1*x=x*1=x。
　　这两条看似简单，但实际上，这是实数域作为线性空间的必要条件。通俗地说就是，线性空间中需要有两个元素，一个加了白加，一个乘了白乘，在实数这个线性空间中，分别是0和1。
2：唯一的偶质数。
　　质数：除1和该数本身之外无其它约数的数。质数有无穷多个，百以内质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。由于比2大的偶数都有约数2，所以它们都不是质数，亦即2是唯一的偶质数。
3：我们生活的空间的维数。
　　也就是传说中的“三维空间”，点是零维的，线是一维的，面是二维的，体，或者说空间，是三维的。
4：足够为平面地图上色的最少颜色数。
　　这就是著名的“四色猜想”，即平面地图上有不同的一片一片区域（比如世界地图上的不同国家），对于相邻的区域要用不同的颜色上色，四色猜想说，只要四种颜色，就能按这种要求为任意复杂的平面地图上色，该猜想20世纪被计算机证明，故也称四色定理。
5：柏拉图立体（正多面体）的个数。
　　正多面体，是指各个面都是全等的正多边形并且各个多面角都是全等的多面角的多面体。数学上由多面体欧拉定理等都可以证明，正多面体只有五种，分别是正四面体、正六面体（即立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体。
6：最小的完美数。
　　不包括本身的所有约数的和等于该数本身，比如6的约数有1、2、3、6，其中1+2+3=6。完美数很少，并且至今没有发现奇完美数。
7：边数最少的尺规作图无法做出的正多边形。
　　高斯作出正十七边形尺规作图法时也给出，尺规作图能做出的正多边形的边数只能是任意个2与任意个不同的费尔马质数连乘的乘积（这里任意个均可以为0个），这样百以内尺规作图能作的正多边形边数为3、4、5、6、8、10、12、15、16、17、20、24、30、32、34、40、48、51、60、64、68、80、85、96，而正七边形无法由尺规作图作出。（费尔马数：2^(2^k)+1，其中的质数称为费尔马质数，有3、5、17、65537等）
8：斐波那契数列中最大的立方数。
　　斐波那契数列：由0、1开始，之后的每个数都等于前面两个数的和，即0、1、1、2、3、5、8、13……，其中8是最大的立方数，也就是说8以后，斐波那契数列中不再有立方数。
9：任意正整数表示成整数立方和形式至多需要的立方数个数。
　　也就是说，任意一个正整数，都能表示成为最多9个数的立方和。
10：我们的数系的基数。
　　也就是说我们常用的是十进制。
11：正整数数字连乘归个位所需最多步数。
　　把一个正整数的各位数字连乘，得到一个新的整数，再对这个整数的各位数字连乘，以此类推，直到只剩一位数字为止，比如9876，9*8*7*6=3024，3*0*2*4=0，至此只剩一位数字，9876的这个过程一共有2步，而现在发现，正整数最多经历11步就能达到只剩一位数字。
12：最小的过剩数。
　　不包括本身的所有约数的和大于该数本身，12的约数有1、2、3、4、6、12，1+2+3+4+6=16>12，从而12是过剩数。较小的自然数中过剩数并不多，20以内只有12和18两个，再除去完美数6，其它的都是不足数，但很大的自然数几乎都是过剩数，“确实很过剩”。
13：阿基米德立体（半正多面体）的个数。
　　半正多面体是使用两种或以上的正多边形为面的凸多面体，共有13种。
14：满足如下条件的最小的n：没有一个整数与n个小于它的整数互质。
　　互质，就是指两个数的最大公约数为1，也就是在两个数的所有约数中，只有1是共有的。比如20，在比它小的数中，它与3、7、9、11、13、17、19等7个数互质，比如21，在比它小的数中，它与2、4、5、7、8、10、11、13、16、17、19、20等12个数互质，而有一批数n，所有的数都不会恰好与比它小的n个数互质，也就是或者比n多，或者比n少，这些n就是不可能的个数。而在许许多多的n中，14是最小的一个。（可算解释完了~~~）
15：仅有一个有限群的最小合阶数。
　　这个我也不懂啦，我们当初学线性代数的时候也没讲群论，反正简单地看了一下，大概就是说，阶数，就是有限群里的元素的个数，而对于某些阶数，比如24，一共有15个有限群，而对于另外一些阶数，就只有一个有限群，质数阶数好像都是这样的，而合数里面，最小的一个具有这个性质的阶数，就是15，15阶有限群只有一个，就是C15。
16：唯一一个能满足等式x^y=y^x的整数，其中x和y是不相等的整数。
　　（x^y表示x的y次方~~~）x，y相等的时候，显然有x^y=y^x，而x，y不相等的时候，只有2^4=4^2=16这唯一一个整数解，也就是2*2*2*2=4*4=16。
17：平面对称群组（墙纸群组）的个数。
　　这个我也不是太明白，看了看大概就是说，忽略二维墙纸的细部颜色形状细节，只考虑小图案的平铺方式，每单位以若干正多边形组成的，不多不少一共有十七种。
18：唯一一个等于各位数字和两倍的整数。
　　18=2*(1+8)，这个解释最短啦~~~
19：任意正整数表示成整数四次方和形式至多需要的四次方数个数。
　　类似于前面9的那条，至多需要19个数，它们的四次方的和可以是任意一个整数。
20：六顶点有根树的个数。
　　树是网络图论中的一个概念。图，大致就是常见到的那种组织结构图的样式，其中的点叫做顶点，顶点之间有连线，就是这一类图。所有的图当中，树是指其中满足以下条件的那一部分图：整个树是连通的，而且其中没有环路。而有根树，就是树中有一个顶点是根，根的位置不同可能树就不同，这就好比有机化学当中，不考虑旋光等其它异构，则丁烷有两种，正丁烷异丁烷，但丁醇就有四种，这就是因为丁醇中有一个碳是与众不同的，它上面要挂一个羟基，挂羟基的碳不同，那么丁醇就不同。好像有点扯远了。还有一个问题，就是除了根以外，其它的顶点都是一样的。这也可以举一个例子，比如说三个顶点代表三个人，其中甲知道一件事（甲是根），要求把这件事告诉乙和丙每一个人（整个树是连通的），同时要求每个人只被告知一次（没有环路），按我们的甲乙丙这个说法原本应该有三种：1、甲告诉乙，乙告诉丙；2、甲告诉丙，丙告诉乙；3、甲告诉乙、丙。但是乙和丙都是非根顶点，他们是等价的，一样的，所以1和2在这里认为是同一种树，也就是说树的形状都是一样的，都是线形的，讨论有根树的时候，只考虑哪个点是根，而不考虑哪个点是乙，哪个点是丙。天哪，说了这么多了，总结起来以上的意思就是，三个顶点的有根树，有两种。而这个条目是说，六个顶点的有根树，有20种。（还要多废一句话，20种并不是己醇的同分异构体个数，因为碳上的共价键是有限的~~~）
21：用不同的小正方形拼大正方形至少需要的个数。
　　用几个数的平方和凑另一个数的平方很简单，勾股定理，只要两个就可以；用相同的小正方形拼大正方形，这个干脆一点难度都没有，4个，9个，16个，都行；但是要用两两不同的小正方形拼成一个大正方形，就不是那么简单了，至少需要21个不同的小正方形才能做到。（勾股定理跟这个两码事，3*3与4*4不可能拼成5*5）
22：8的划分的种数。
　　把一个正整数拆成若干个正整数的和（若干个也包括一个，也就是这个整数本身），称为一种划分，比如4=3+1，这就是4的一种划分，4=2+1+1，这就是4的另外一种划分，除此之外还有4=4，4=2+2，4=1+1+1+1，总共是5种划分，也就是把四个相同的东西放到若干个相同的盒子里，一共有5种放法。上面说的是4有5种划分，而条目说的是8，有22种划分。
23：整数边小长方体不共棱拼成大长方体至少需要的个数。
　　小长方体拼成大长方体很简单，但是这里要求不共棱，也就是说，每个小长方体的12条棱，所有这些小长方体所有的棱没有任何两条是完全重合的（简单想象一下就知道了，这个很困难的）。那么用边长是整数的小长方体，以这种不共棱的形式拼成大长方体，至少需要23个。（翻到这里我有一句题外话，这数学家啊，有的时候真的是很难理解，你说就这个东西都是谁研究出来的~~~）
24：能被平方根以下所有整数整除的最大整数。
　　平方根常会用在判断质数的场合，如果一个数不能被平方根以下1以上的所有整数整除，那么这个数就是质数。不过这里说的这个事情与之完全相反，能被平方根以下所有整数整除，24的平方根在4和5之间，而24能被1、2、3、4每个数整除，可以认为是天下最合的合数，在所有这样的合数里，24是最大的一个，其它的还有4、6、8、12。
25：能表示为两数平方和的最小平方数。
　　也就是勾股定理里最小的一组，3*3+4*4=5*5=25。
26：唯一一个恰巧夹在平方数与立方数之间的数。
　　25是5的平方，而27是3的立方。像这样被夹在中间的，只有26这一个数。
27：等于自己立方的数字和的最大的数。
　　27^3=19683，1+9+6+8+3=27，这样的数里27是最大的。这样的数还有1、8、17、18。
28：第二个完美数。
　　完美数参见前面6那一条，第三个完美数就要到496了。目前发现的完美数都是以6或8结尾的。
29：第七个卢卡斯数。
　　卢卡斯数就是以1、3为前两项的斐波那契数列，前十项为1、3、4、7、11、18、29、47、76、123。
30：与所有小于它的合数不互质的最大的数。
　　原来条目说的是，所有既比它小又与它互质的数都是质数，逆否命题，一回事。对于30，这些质数就是7、11、13、17、19、23、29。30拥有三个小质因数2、3、5，因此与30互质的最小合数是7*7=49。这种数里30是最大的，其它还有3、4、6、8、12、18、24。
31：梅森质数。
　　梅森质数就是(2^n-1)形式的质数，即“二的n次方减一”，这样的质数有3、7、31、127、8191等。梅森质数虽然不像费尔马质数那样只有前面几个，但也同样稀缺，发现一条新闻，长达七百八十万位的数“2的25964951次方减1”被发现是质数，而这仅仅是第四十二个梅森质数。
32：除1以外最小的五次方数。
　　2*2*2*2*2=32。
33：不能写成不同三角数和形式的最大整数。
　　先来说三角数。一个点阵，第一行一个点，第二行两个点，以此类推，每行比上一行多一个点，也就是第n行就有n个点（可以想象成跳棋里放棋子的那个区域）。前n行，组成一个三角形，那么这个三角形里所有的点的个数，就是第n个三角形数。也就是说，第n个三角形数，就等于1+2+……+n，等差数列求和，n*(n+1)/2。于是三角数有1、3、6、10、15、21等。比较大的整数，都能拆成若干个不同的三角数的和，而比较小的整数里面有一些就不能，而这些不能这样拆的书里面，最大的是33。
34：与相邻数约数一样多的最小整数。
　　33的约数有1、3、11、33，34的约数有1、2、17、34，35的约数有1、5、7、35，一样都是四个约数，像这种与邻居约数个数相同的数，34是最小的一个。
35：六连块的个数。
　　这个名字我自己起的，也不知具体该叫什么，反正这个“连块”就是说，1*1的小正方形，n个连在一起。比如说最普通的俄罗斯方块，那里的每个单位就是一个四连块（俄罗斯方块叫Tetris，四连块叫做Tetromino，另外二连块就是传说中的Domino（多米诺））。不考虑旋转和翻转的，称为free，这样四连块一共有5种。只考虑翻转，不考虑旋转，称为one-sided，这样四连块一共有7种，这就是俄罗斯方块里的七种方块（因为游戏里只能旋转不能翻转）。既考虑翻转又考虑旋转，称为fixed，这样四连块一共有19种（并不是四七二十八，因为有的方块是中心对称的，2*2甚至是四方对称的）。这说的是四连块，而这个条目是说，既不考虑旋转又不考虑翻转，也就是free的情况下，六连块一共有35种（还记得中学的时候亲自画过的，很不容易呢）。这个数字增长也很快，都是free，七连块有108种，八连块有369种。
36：除1以外既是平方数又是三角数的最小整数。
　　36=6*6=1+2+3+4+5+6+7+8。
37：任意正整数表示成整数五次方和形式至多需要的五次方数个数。
　　类似于前面9和19那两条，最多37个五次方数就能累加成任意一个正整数。发现一个小规律，9=8+1，19=16+3，37=32+5，不知道前面和后面还满足不满足。
38：按字母顺序排列时排在最后的罗马数字。
　　罗马数字中I是1，V是5，X是10，38写成罗马数字是XXXVIII，把从1到无穷所有的罗马数字放在一起，按照字母顺序abcd排列（原条目用的词是lexicographically，意为“字典编纂地”~~~），前一位相同就看下一位，最后排下来，所有的数里这个XXXVIII是排在最后的。（为了这个条目研究了一上午，突然灵光一闪研究明白了~~~）
39：可以划分为三组乘积相同的三个数的最小整数。
　　前面22里提到过划分，这里是说，一个数，它的三种划分，每种划分都得到了三个小整数，三种划分里这三个数的乘积是相同的。这样的数，39是最小的。Excel之，偶终于找到了这三种划分，39=4+15+20=5+10+24=6+8+25，4*15*20=5*10*24=6*8*25=1200。
40：唯一一个字母按字母顺序排列的数。
　　就是说40的英文forty这五个字母是按照字母表的先后顺序排的，英文表示的那么多数，这样的数只有40这一个。
41：一个有如下特性的n值：使得x=0，1，……，n-2时，都有x*x+x+n是质数。
　　就是说现在n等于41，那么x等于从0到39任意一个数时，x^2+x+41都是质数（41、43、47、53、61、71、83、97等，这是一个两项之间的差为等差数列的数列）。x=40时，这个值就会达到41的平方，不再是合数。要知道质数的分布几乎是找不到规律的，能把40个质数统一在一个式子里是很不简单的事情。
42：第五个卡塔兰数。
　　连出正方形的一条对角线，那么这条对角线就把原来的正四边形分成了两部分（(4-2)部分），这里要考虑到旋转，所以另一条对角线算是另一种方法，于是把正四边形分成(4-2)部分的方法一共有2种。把一个正(n+2)边形用顶点之间互不交叉的连线分成n个部分，旋转、翻转所得也都算进去，总共的方法数就是第n个卡塔兰数。前面说的2，就是第二个卡塔兰数，而易知，第一个卡塔兰数是1，也就是把正三角形切成一块的方法数。这里说的是，42是第五个卡塔兰数，就是说，把正七边形用顶点间不交叉连线分成5部分，一共有42种分法。前十个卡塔兰数：1，2，5，14，42，132，429，1430，4862，16796。
43：含翻转七钻图案数。
　　前面提到过六连块，那是在拼正方形，现在每个单位变成正三角形，七个正三角形，翻转计入，旋转不计入（这叫做sided 7-iamonds），一共有43种拼法。
44：5件东西完全放错位置的情况个数。
　　就是说，原本的顺序是12345，现在还是这5个数排在一起，但每个数字都不在自己原来的位置，这样的情况一共有44种。也就是说，一共5位的猜数字游戏，会出现0A5B的猜法一共有44种。
45：雷劈数（卡普利加数）。
　　卡普利加数是指，如果一个n位数x，把它的平方从中间切开，后面得到一个n位数，前面得到一个n位数或n-1位数，这两个数相加得到原来的数x，那么x就是卡普利加数。45*45=2025，20+25=45。据说这种数是当初数学家卡普利加在暴风雨后看到路边的里程碑被雷劈成两半，一半写着30，一半写着25，30+25=55，55*55=3025。前几个卡普利加数是1，9，45，55，99，297，703。
46：不含翻转旋转九后问题解法个数。
　　n后问题是指，把n个国际象棋里的后，放在n*n的正方形棋盘上，要求这些后两两不能互相攻击（不共横线，不共竖线，不共斜线）。普通的国际象棋棋盘上的八后问题有12种解法，这里说的9*9棋盘上的九后问题则有46种解法。这里经过旋转、翻转得到的解法都不计入。
47：不能连加为一个立方数的立方数最大个数。
　　这种句式就是比较别扭，解释一下。费尔马大定理中指数为三时，有a^3+b^3=c^3没有正整数解，这就是说，两个立方数不可能相加成为一个立方数。或者说，一个立方数不能写成两个数的立方和。这个条目说，有这样一些数n，一个立方数不能写成n个数的立方和，前面说的2就是其中的一个，而这些数里面最大的n是47。
48：拥有10个约数的最小的数。
　　48的约数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
49：与相邻数都是倍平方数的最小整数。
　　Squareful，这里自己起了个名字叫“倍平方”，就是说这个数或者是完全平方数，或者是完全平方数的整数倍（当然本身也是本身的整数倍啦~~~）。49=7*7，48=2*2*2*2*3，50=2*5*5，链接里把Squareful解释为至少有一对相同的质因数，与前面说的是一个意思。
50：可用两种方式表示成两数平方和的最小整数。
　　50=1*1+7*7=5*5+5*5。
51：第六个莫茨金数。
　　没有图还真不好解释，举个例子吧，架桥，宽n单位的水面，每单位宽度上要架一段桥，“桥段”有三种，上坡，平路，下坡（当然专业一点可以叫做三个向量(1,1)、(1,0)、(1,-1)），三个要求，第一，整座桥不能断开，是一条折线，第二，桥的两端高度都是0，也就是上坡和下坡数量要相等，第三，整个桥面要在水的上方，纵坐标永远不能小于零。非轴对称的翻转所得也计入，这样宽n的水面能造的桥的种数就是第n个莫茨金数。51第六个莫茨金数，是前十个莫茨金数是：1，2，4，9，21，51，127，323，835，2188。
52：第五个贝尔数。
　　贝尔数：把n个不同的物品分成任意组，每组任意个，总共的分法种数，就是第n个贝尔数。比如1、2、3三个物品，可以有((1),(2),(3))、((1),(2,3))、((1,2),(3))、((1,3),(2))、((1,2,3))这样五种分法，于是第三个贝尔数就是5，而条目说第五个贝尔数是52。前十个贝尔数是1，2，5，15，52，203，877，4140，21147，115975。
53：唯一一个十进制与十六进制写法相反的两位数。
　　十进制的53，写成十六进制是35，也就是3*16+5=53，这样的两位数只有这一个。
54：可用三种方式表示成三数平方和的最小整数。
　　54=1*1+2*2+7*7=2*2+5*5+5*5=3*3+3*3+6*6，这一条跟前面50那一条还是有密切联系的。
55：斐波那契数列里最大的三角数。
　　这两个名词分别在8和33里解释过，不再重复了。
56：五阶正规化拉丁方的个数。
　　n阶拉丁方，是指一个n*n的方阵，里面的元素有n个1，n个2，……，n个n，也就是从1到n各n个，而且要求相同的数字不共行不共列，那么也就是每行、每列都是由1，2，……，n构成的。而这样交换一下各行各列的顺序就会出现很多拉丁方，比如说四阶拉丁方就有576种。如果要去除这些重复，就要引入正规化的概念，正规化拉丁方，就是指首行首列都是按从1到n的顺序排列的。这样，四阶正规化拉丁方只有四个，而这里条目说的是五阶正规化拉丁方有56个（五阶拉丁方总共有161280个~~~）。
57：转换成七进制为111。
　　1*7*7+1*7+1=57。
58：四阶交换半群的个数。
　　前面说过了，我也不是太懂，简单看了一下，就是说，有一些元素和一种二元运算（就是两个元素进行这种运算得到另一个元素），如果这种运算满足结合律，这个系统就叫半群，如果还满足交换律，这就叫交换半群，而四阶就是指四个元素。于是这里说，四阶交换半群有58个。
59：星形二十面体的个数。
　　这里的二十面体是广义的，因为星形多面体大多不是凸多面体。这里二十面体是指整个立体所有的面分布在二十个平面上，同时还有其他几条要求，首先所有的小面要全等，第二，对于20个面中的每一个面，上面的形状要三次对称（就是绕对称中心旋转120度所得形状不变，亦即旋转360度出现三次相同形状，而中心对称实际就是二次对称），第三，所有的部分都要在立体的外侧，第四，能分成两部分，每部分各自有完整对称性的，不计入。以上这五条都满足的星形二十面体，总共有59个。
60：能被从1到6每个数整除的最小整数。
　　60的约数有1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，我们必须承认，我们在时间上所采用的六十进制、二十四进制都是约数很多，很方便进行分配的数字，必须感谢我们的先贤。
61：第六个欧拉数。
　　这个欧拉数可不好解释了。第n个欧拉数，就是正割函数（sec x）泰勒展开式的n次项系数的分子，其中分母是n!。我觉得啊，既然前面连什么是质数都解释了，这里也就没什么必要把泰勒展开的过程说一遍了，简单理解也就是把一个函数展开成非负整数次项组成的多项式函数。第奇数个欧拉数都是0（也就是展开式里没有奇数次项），第0、2、4、6、8个欧拉数为1、1、5、61、1385。
62：可用两种方式表示成不同三数平方和的最小整数。
　　前面54可以用三种方式表示成三数平方和，但那里有两种中都有相同数字。而62=2*2+3*3+7*7=1*1+5*5+6*6，三个数都是不同的。
63：五元素偏序集的个数。
　　嗯，这个彻底不懂啦。好像，大概意思吧，就是说一共有5个元素，组成一个集合，这集合里有一个关系，类似于实数里的小于等于，满足三个条件：第一，a64：拥有七个约数的最小整数。
　　完全平方数拥有奇数个约数，其他的数拥有偶数个约数。64的约数有1、2、4、8、16、32、64。
65：与反写数相加相减都得到平方数的最小整数。
　　65反过来写是56，65+56=121，是11的平方，65-56=9，是3的平方。有这样特性（再感叹一句，这么稀奇古怪的特性都谁研究出来的~~~）的整数65最小。
66：八钻图案数。
　　可以参见43那条，这里是说八钻图案一共66种。不过这里的八钻图案数指的是旋转、翻转都不计入的情况，含翻转的八钻图案一共有121种。
67：五六进制下均为回文数的最小整数。
　　67五进制下为232，六进制下为151，都是从左往右看和从右往左看数字不变的回文数。
68：圆周率π中最后出现的2位数字符串。
　　举个例子吧，圆周率前几位3.14159265358979323846264338327950288，出现的2位数字符串依次有14、41、15、59、92、26、65、53、58、89等等，π是无限不循环小数，所有的2位数早晚都要出现的，而最晚出现的2位数就是68。
69：平方与立方恰由从0到9十个数字组成。
　　69*69=4761，69*69*69=328509，恰好包含从0到9每个数字各一个。
70：过剩数中最小的不等于部分约数和的数。
　　过剩数参见12。不含本身的所有约数和比原数大，而有些过剩数如12=1+2+3+6=2+4+6，18=1+2+6+9=3+6+9，可以写成部分约数的和，而70就是不能写成部分约数和的过剩数中的最小的一个（显然，不足数都不能写成部分约数和~~~）。
71：能整除小于它的所有质数的和。
　　小于71的质数的和为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29+31+37+41+43+47+53+59+61+67=568=71*8。
72：六维空间中一个六维球周围最多的等球数。
　　我的理解可能会有错误，如果没错的话，下面就来解释一下。在任意维的空间中，球的概念就是到某个点距离一定的所有点的集合。一维球大概就是两个点，二维球是圆。拿二维举个例子，一堆等圆（就是大小一样的圆）放在一起，互不相交（可以想象大家都是固体的圆片），那么每个圆最多能与六个圆相邻，三维的情况下就是指把一堆乒乓球放在一起，每个乒乓球最多与多少个乒乓球相邻，而结论是12个。推广到六维空间，这个数字就增大到72。
73：除1以外比反写数的两倍小1的最小整数。
　　73反写为37，37*2=74=73+1。这样的数最小的是1，其次就是73。
74：顶点数最少的不同非汉密尔顿多面体的个数。
　　这个偶也是大概地理解一下，说不定是错的。汉密尔顿多面体，就是说存在一个汉密尔顿环，由多面体上的部分棱组成闭合折线，经过多面体所有顶点，但只经过一次（也就是从一个顶点出发，经过每个顶点各一次最后回到出发点）。而不能用这种方式连接所有顶点的多面体，就是非汉密尔顿多面体，这样的多面体中，顶点数最少的，一共有74种不同形状。
75：允许并列的情况下四个物品的排序种数。
　　举个例子，就是说四个选手比赛，比了一大堆，最后如果允许有并列，那么所得的比赛结果一共可能有75种。其中分出一二三四名的有24种，有一对并列的有36种，两对分别并列的有6种，有三个人并列的有8种，四个人彻底并列的还有1种，24+36+6+8+1=75。
76：自守数。
　　一个数k，如果n*k*k的尾数为k，则k称为关于n的自守数。关于1的自守数简称为自守数。也就是说自守数的平方尾数是原来的数。76*76=5776，自守数有1、5、6、25、76、376、625等，除1以外，所有的自守数都以5、6结尾，而且5、6两系列中后面的数都以前面的数结尾，如6、76、376、9376。
77：不能写成倒数和为1的不同整数的和的最大整数。
　　举个例子，1/2+1/3+1/6=1，2+3+6=11，11就能写成倒数和为1的不同整数的和。而有些书就不能写成倒数和为1的不同整数的和，77是其中最大的数。
78：可用三种方式表示成不同四数平方和的最小整数。
　　这个跟前面的62很有关系，78=2*2+3*3+4*4+7*7=1*1+4*4+5*5+6*6=1*1+2*2+3*3+8*8，每组四个数都是不同的。
79：可交换的质数。
　　好像是说，79是质数，97也是质数。这样的2位数的质数还有11、13、17、37（只列出较小数字在前的）。
80：本身和本身加一都是四个以上质数乘积的最小的数。
　　80=2*2*2*2*5，81=3*3*3*3，两个数分解质因数都能分出4个以上的质数，这样的相邻数里最小的就是80和81（因为2和3的差距，奇合数质因数往往比附近的偶合数少）。
81：数字和的平方。
　　8+1=9，9*9=81。
82：六连六边形的个数。
　　类似前面的六连块，这里单位变成正六边形，旋转、翻转所得不计入，六连正六边形有82种，如果计入翻转则有147种。