一个数学成绩很好的学生曾经对我说，一定要让她弟弟学到最好的数学；也有一个家长曾经对我说，一定要让他孩子学到最聪明的数学。他们的意思是，不用学很多数学知识，也不需要做很多练习，只学习某些窍门，就可以解决任何数学问题，至少是看到任何问题都知道怎么解。我自信知道所有的数学学科，可我的概念中只有最全面的数学、最高深的数学、最有用的数学等，要不就是分成学校数学与竞赛数学。
学校数学只教代数、几何、微积分，而且是极其肤浅的那种。这些都是墨守陈规、有公式定律可套的东西，机械般地没有技巧、没有新思想，只适合于按部就班、不搞发明创造的人。要想学到聪明数学，只有钻研竞赛数学。一个家长曾经这样告诫他儿子：如果你不在中学时代参加一些竞赛，那么到了大学里，一切都是套公式，脑袋都要僵化了。现实情况却是，很多人就连现成的公式都不会套。
从内容上来说，竞赛数学有三个额外的专题：（1）计数，或称组合数学；（2）数列，或称找规律、模式识别（Patterning），包括数学游戏的致胜策略，还有逻辑推理问题；（3）数论，研究整数的基本性质。整数看似简单，研究方法可谓无所不用其极！就算把目前已知的所有方法都用上，也不能解决哥德巴赫猜想。为什么是这三个专题？因为它们都是构造性的！你需要构造出一种新对象、新方法，去证明或否定一个论断。
还有不有其它专题，可以拿来做中学数学竞赛？图论，研究图的构造与计数，概念简单，构造耗时；已有难题，如四色问题，货郎担问题，一笔画问题等，都已解决，没有什么题可竞赛了。矩阵代数，结构、运算规则都是固定的，没有自由发挥的空间。运筹学、决策论，使用的工具太过于依赖分析学科，中学生是很难掌握的，但其思想可以借鉴。根据已有信息，预估所有可能的结果、成本与收益，按照最优化原理，决定采取何种策略。自适应、自完善系统都莫过如此。
在演算或推理的过程中，最重要的就是要搞清楚，下一步是什么？在数学中，有一门学科叫数理逻辑，专门研究符号化的推理过程。只要把句子（命题）符号化，根据事先设定的推理规则，它就能一步步地给出最终结果。这已经机械化，对于思维训练的帮助有限。给定一个问题，要想一眼看出如何求解，还得先把它数量化。
数学对象就是一些表达式，用运算符把变量连接起来的关系式；运算符有加、减、乘、除和幂，关系式有等式、不等式、和映射。图形都可以用映射表出。如何写出一个关系式？我们要从不同的方面或不同的角度去考虑问题。我经常对学生们说，要列出一个方程式，你只要用两种不同的方式去表达同一个量就可以了。遗憾的是，我就算说上几十遍，也有人记不住，可能是受学校老师的影响太深了。其实，在所有科学中，这是列式的唯一方法！
有好几个学生跟我说，要造一台超级计算机，它能够解决任何数学问题：会做计算，能列方程、解方程。怎么才能做到呢？我对此有过深入思考，写过一些教电脑读书识字列算式的文章，但至今尚未实现。如果真有这样的机器，那还有不能解决的数学猜想吗？还有解决不了的疑难杂症吗？人类岂不是永生了！另一方面，就算有人造出了这样的机器，它对于训练人的大脑也没有任何好处，相反只会让人的大脑僵化、变成机器的奴隶。
有人说，数学补习就是提前学。其实，不同的老师，教学水平是不一样的；尽管所学的内容大同小异，但老师的思想方法相差巨大。学校里的老师，衣食无忧、饱日终老，丝毫没有进取之心；连概念都搞不清，要他们去搞创新，无异于登天。而课外补习老师呢，要想生存，就得拿出超过学校老师的本领；这就逼迫他们不断地改进，思想方法日趋完善。教出来的学生自然也就胜人一筹。当然，哪里都有庸医、庸师，你必须要事先了解才行。
也有人说，我的孩子才不要参加什么竞赛呢，学校里的功课只要能够及格就可以了。殊不知，学校教育正在毁掉多少聪明的大脑！你愿意孩子碌碌无为一生，他/她可不一定愿意。当然，如果是孩子自己不愿意动脑子，你也没有办法。有的家长还要讲究个性价比：花多少时间和金钱，学多少东西；把孩子变成了一台功利的机器。多出来的时间呢？白白浪费掉，多长点见识不好吗？
有人说得好，人生就是一个过程！你可以躺平，过平庸的一生；也可以雄起，过精彩的一生。到这个世界来走一遭，不留下点自己创造的东西就太对不起上天了。
