阿罗定理、波达计数与选举规则

现行的许多选举规则和比赛规则是有偏（bias）的规则，很难代表民意，即选举胜出与否与选举规则有关，而和被选举人是否真正代表民意无关。这是著名的阿罗不可能定理。阿罗定理说：基于爱好偏序排列的社会效益函数不存在【1】。阿罗1950年发现这个定理，1972年或诺贝尔经济学奖。

 

让我们用一个简单的例子来说明阿罗定理问题。比如有三个人参加总统竞选，他们是布什、克林顿和里根。一共有100个人投票。其中43人最喜欢布什、第二喜欢里根，最不喜欢克林顿；33人最喜欢克林顿、第二喜欢里根、最不喜欢布什；24人最喜欢里根，第二喜欢克林顿，最不喜欢布什。

 

如果每人一票，得票最多的当选，则布什以43票对克林顿33票和里根24票胜出。这是美国现在的选举规则。如果按照此规则选奥林匹克会址，中国就得到2000年的举办权了，但是奥林匹克会址的投票规则是得票最多的两名再重新投第二次票，结果中国在第二轮落选。

 

回到我们三人竞选的例子，如果按奥林匹克选会址的规则，克林顿会在第二轮投票中以57票对布什43票胜出。这种方法在此例中刚好也是末位淘汰法。

 

如果我们按照双双对决方法（这是体育中比赛的规则），那么布什与克林顿对决时，克林顿以57票对43票胜布什；布什与里根对决时，里根以57票对43票胜布什；克林顿与里根对决时，里根以67票对33票胜克林顿。结果是里根两胜，克林顿一胜一负，布什两负。里根胜出。

 

在选民偏好不变的情况下，用三种常用的选举规则会选出三个不同的总统。为什么说这些选举规则是有偏的呢？让我们举个例子来说明。假如出来前边一百个人的偏好不变，我们再加一百个最喜欢克林顿和最讨厌里根的人和另外一百个最喜欢里根而最讨厌克林顿的人，这两百人对布什即不喜欢也不讨厌。这样加多两百人看上去是中性的，对布什没有更喜欢也没有更讨厌，对克林顿和里根两个人的厌恶和喜爱人数相等相反。如果选举规则是无偏的，那么加这两百人对选举结果应该没有影响。读者不妨自己试试，选举结果会很不相同。如用第一条选举规则，原来100人投票时是布什胜出的，现在300人投票就变成克林顿胜出，虽然后边加的200人总体来说对三人的偏爱程度是中性的。

 

无偏的选举规则应该是波达计数【2】。波达是法国科学家，他在科学试验数据处理上发明了波达计数方法，他是1770年发明波达计数方法的。用回上边的例子，如果选民按偏好计点，如43人给布什2点，给克林顿1点，给里根0点，表示他们最喜欢布什，第二喜欢克林顿，最讨厌里根。其它人也用计点方式来排序他们的偏好。而选举的结果，以得点数最多的人胜出。那么我们就会发现，后边增加的中性的200人刚好使得每个候选人都增加了200点，不影响原来100人选举的结果。所以，波达计数是无偏选举规则。

波达计数在有广泛的应用，如市场调查，各种社会调查，依据公司投票决策等。也有几个小国家才有波达计数作为总统选举规则【2】。

 

规则有时候无法完全表达选民的偏好，如点数的3、2、1排序是等差计数，假设你的偏好程度是均匀分布的，怎么表达选民对两个候选人喜爱程度接近或想去甚远呢？

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一种方法是规定每人可以用30个总点数，这和现在每人一票一样。如果我完全没有偏好，我就给每个候选人10点。如果我有偏好，我可以将30点在三个候选人之间任意分布，比如，如果我只想布什当选，我就给布什30点，给另外两个人0点。如果我喜欢布什，但万一布什不当选，里根我也能接受，我就给布什20点，给里根10点，给克林顿0点。这个好处是总点数守恒，坏处是比较平衡的人，即对三个候选人可以客观评价的人，其点数的能力反而不如极端主义的人，极端主义的人将30点都给1人，他的选举影响能力就比其它人高。

为了让每个人对起最喜爱的任一候选人的赞同权重一样，可以让每个选民对候选人在0－10中间评价，最好的给10分，最坏的给0分，没有偏好就给5分。这种方法也是有广泛应用的。现在我们填的许多市场调查标格都是这种形式。

 

【1】    http://en.wikipedia.org/wiki/Arrow%27s_impossibility_theorem

【2】    http://en.wikipedia.org/wiki/Borda_count