《数学：确定性的丧失》——这是真的吗？
一般而言，无论见到数学是如痴如醉的人，还是头昏脑胀的人，无论对数学是敬畏的人，还是恐惧的人，有一点是相同的：认为数学代表了精确，确定或者是真理。并且他们从来没有，甚至不敢对这一信念怀疑过。然而，大众泛泛的观念很少能经起检验。M 克莱因的书《数学：确定性的丧失》所揭示的历史及事实是对此信念的毁灭性的打击。
有人惊奇万分：这会是真的吗？
各个文明的民族都发展过简单的算术和几何。现代研究生院里讨论的大部分数学却不是此类经验数学的直接演化的结果。现代数学的主干是从古希腊的数学的土壤中生长出来的。当然有人不同意此论，但除了强词夺理外，我看不出任何有价值的反对理由。如果你在决定命运的考大学的试卷上对几何的：“证明”题中没给出适当的步骤，你会得到零分。那时你应对此论有一定的认识了。为何要证明？这直接来源于古希腊，确切的说是欧几里得。古希腊人何以想到要“证明”几何命题？这个问题不太好回答。毕达哥拉斯学派认为世界是符合数学规律的——这是一种来源于神秘主义的观念。柏拉图认为数学是独立的一种客观世界。这两种观念对世界影响巨大。反正欧几里得的《几何原本》是试图从几个简单的公理出发，推出全部命题。我们今天的教科书大致是仿此而写的。
对现代数学有重大影响的是伽利略和多普勒二人。伽利略认为应当只对世界作描述“是怎样的”（当然是由数学来描述），而不回答是“为什么是这样”。 多普勒（当你在大街上超速开车而得到一张罚单，警察手中的雷达就是根据多普勒发现的效应——多普勒效应而制造的，若没有多老头，警察是无法知道你车子的速度的）则直接去“发现”数学描述的公式。当然，这是在背后有一种信念支持的：上帝创造了宇宙，宇宙是用数学语言来描写的。我们是去“发现”那些规律。牛顿是最后完成这一工作的。
牛顿创造的微积分或现代分析在物理世界的应用取得了惊人的成就，特别是海王星和冥王星是先由数学方程而推知的，然后才用望远镜找到的。这一切使人信服：自然界是依数学设计的，自然界的真正定律是数学。
在那个时代，数学大厦是人类理性所认识的真理，几乎无人敢怀疑。
然而，这一信念在十九世纪的下半叶却开始逐渐动摇了。
造成这一现象的动力不是来源于对数学的抨击，而是来源于数学家们想千方百计完善数学这样真理大厦的努力。这一切是从欧几里得用到的第五公设开始的。这一公设又叫平行公理，用今天课本上的叙述是：过已知直线外一点，有且仅有一条直线和已知直线平行。数学家们想“证明”它，结果却“发现”了非欧几何。非欧几何断言：一个三角形的内角和不等于180度，可大于、或小于180度。它们是有逻辑一致的几何。后来的数学家逐渐认识到：非欧几何完全可能是用来描述一种物理世界。当年，数学家却坚信物理空间的几何必定是欧几里得，现在看来，它仅是人类的经验在一定尺度上的推论而已。
“数学家们一直相信他们已十分成功地揭示了自然的数学设计，然而，现在他们却不得不承认数学定理并非真理。”
这一承认是十分痛苦的。数学的大厦是真理——这仅仅是一种幻觉。“人类推理的骄傲”随着真理大厦的坍塌而崩溃了。
数学向何处去？
数学不再是一个真理体系。这是何等令人沮丧的事情啊！欧氏几何竟然是建立在一个有严重缺陷的逻辑基础之上的。而现代数学分析是建立在算术与代数的虚构的逻辑上。虽然严谨的思想家们承认必须摈弃数学是现实世界的真理的主张，但许多数学家仍然信奉原来的观念。
数学仍在发展，尽管它的某些方面不合逻辑。并且它在物理世界上的应用仍然成就辉煌。
当一种观念改变了人们的主要看法时，人们的表现通常是：一部分人完全不理会其观念的内容；另一部分人试图另寻出路；还有一部分人试图修复缺失的东西。为了修复数学有缺陷的基础，数学界分裂为逻辑主义派和直觉主义派。逻辑派认为所有的数学都可由逻辑推导出来。罗素就属于逻辑主义派。他早年属于柏拉图主义者。他试图把数学建立在严密的逻辑基础之上。他和怀特海合著的三卷巨著《数学原理》就是这一尝试。
罗素的努力最后失败了。我们所说的失败是指他未达到原来的目标。当然，失败不意味着罗素的工作毫无意义。罗素所用的公理是“合理”否，甚至它们是否是公理，数学家们都达不成一致意见。打个比喻：逻辑主义派想找出一个刚体的山谷修一道不漏水的大坝，结果发现任何坝体都漏水，且地下的基岩竟是沼泽一样的塑体。到了晚年，罗素自己已不相信数学能从逻辑中导出。
逻辑派对公众影响很大的一点是“罗素悖论”。这个悖论简单说，就是：一个集合的元素不可以包括该集合。否则，将带来逻辑矛盾。它可用一种变形的形式表达（仅指它的逻辑关系，不是指其内容）：“凡规则都有例外。”（你可以变出许多命题：“我说的全是谎话”。“世界上没有正确的东西。”……）若命题中的“凡规则”包括了自身，则它既不真也不能假——排中律被违反了。其实，“解决的办法”是：命题叙述的内容不可反身到自身，否则，将带来逻辑矛盾。电脑是一个技术工具，它不允许也不能忽略矛盾。若你编一段程序，内循环程序又包括了整个外循环程序段，那个程序要么不能工作，要么进入无穷循环。这取决于你写的代码。若该程序开始运行，你只要“杀死”该程序，才能停止它“疯狂”地运行。这是“罗素悖论”的一个“体现”。罗素自己就说过：“我们可以发现，在一切逻辑的悖论里都有一种反身的自指，这种反身的自指应该根据同样的理由加以指斥。那是说，它包含讲那个总体的某种东西（这种东西有时总体中的一分子）。如果这个总体已经固定了，这种东西才有明确的意义。”
蜘蛛网上常有人将类似的悖论变种拿来，还认为自己是发现了新大陆。其实，那是新“发明”自行车，且该车的是方形的。
直觉主义者是属于另找出路的一派。他的观点是：数学是人的直觉所创造的。克罗内克说过一句话可谓代表：“上帝创造了整数，其余的都是人的创造。”支持直觉主义的事实是：许多在数学这块板上钻过若干大小洞的人都知道，几乎全部的数学定理都是在各种思考方式下找到的，“证明”是后加上去的。爱因斯坦说过：从特殊到一般是靠直觉起作用。他可没说什么逻辑。当然，反对直觉主义的理由是：人的直觉经常出错。像“在某区间上处处连续，但处处不可导”的“病态函数”着实使许多数学家多少有点吃惊。还有一点，即使你是最坚定的直觉主义者，你若在论文中说：“根据本人的直觉，得到如下的结论：……”这样的论文是不会被接受的。还有更重要的一点是：根据直觉主义的观点，数学许多的部分要被废弃。排中律不能用于无限的集合中。
直觉主义者认为数学是人的创造。他们的某些对手也承认这一点。有人会想，既然数学是人的创造，那数学研究不就太简单了吗？我们的回答是：你来试试便知道了。
希尔伯特所领导的形式主义派认为：数学不是一种逻辑的结果，而是一种自然存在的法则。对待数学的可靠的方法是不把它当作实际知识，而是当作一种形式上的法则。数学思想的要素就是符号和符号组合或串联而成的命题。看来，他们是要调和逻辑派和直觉派的矛盾。今天所有的数学书中充满着各种符号，就是这一派的影响的体现。
另一派是策梅罗创建的集合论公理化派。顾名思义，这一派是要把集合论公理化。它想把前三者的某些东西结合起来。它的追随者最多。今天的高中生都要学一点集合论，就是这一派的功劳。某些没有历史感的历史学家经常在历史中找什么公理化思想就是受这一派的影响。
这几派互相攻击，有时也互相取所长。倒也相安无事。
但对数学进行了一场毁灭性打击的是哥德尔。
哥德尔在1931年发表了一篇论文《论数学原理中的形式不可判定命题及有关系统》。他的结论是毁灭性的：任何数学系统，只要其能包含整数的算术，其相容性就不能通过逻辑体系的方法而建立。他的一个推论称为“哥德尔不完备定理”，是说：如果一个形式理论T足以容纳算术逻辑并且无矛盾，则T必定是不完备的。相容性是以不完备为代价的。数学家当年假设的相容性和完备性是我们数学逻辑所必需的两条的断言成为梦呓。
不仅仅是数学的全部，甚至任何系统都不能用类似哥德尔使用的能算术化的数学和逻辑公理体系加以概括。因为任何这样的公理系统都是不完备的。任何系统内部都可能存在着不可判断的命题。这里的“不可判断”是指逻辑结构而言的，不是因为我们的智力愚钝或信息不足等原因导致的。
在这种意义上讲，何谈什么危机不危机的，说什么数学出现“危机”这一论断是假设一个前提，即认为：数学应是完备的和相容的，至少是相容的。
完备性和相容性是逻辑主义和公理化派（至少在部分意义上讲）赖以走路的两条腿，现在哥德尔告诉他们这两条腿无法同时满足——数学注定是一个瘸子。
在某种意义上讲，哥德尔不完备性定理是对排种律的否定。
至此，旨在1可能存在的矛盾与建立数学结构相容性的努力宣告失败。是接受公理化派的方法，还是直觉主义的方法，数学家们不再有一致的看法。
魏尔说：“逻辑是数学家们用来保持他思想健康强壮的卫生手段。”证明确实起到了一定的作用，它减少了（不是消灭了）矛盾出现的危险。数学杂志接受论文时仍需有适当的证明，至于什么是“适当的证明”不会有天下共同的看法，它取决于数学家的观念而有别。
数学是人类的一种活动，它受制于人类的各种弱点和过失。它需要不断修正。尽管如此，数学仍是可用的最好知识的典范，仍是人类思想中最贵重的宝石。
数学在各个领域的应用依然是那样卓有成效。
数学界分裂成两大派：“纯粹数学”和应用数学。
荷马说，国王西西弗斯死后，諸神罚他推一块巨石上山，而在他接近山顶时，又使石头落到山下，于是他从新开始。如此劳作不已。克莱茵把现代的数学家比喻成现代的西西弗斯，他们将永远推下去。
我们也打个比方：数学像一个航空港的侯机大楼。大楼按照一定的应用要求和它自己“内部的规则”不断向前延伸。大楼向何方延伸取决于人不同时期的想法、航空港的限定和大楼本身的要求。各部之间可能出现无法协调的矛盾，但“工程师们”想方把它们降到最低，至少是为了使用方便的目的，保存它们在我们能忍受的程度内。这些“工程师”所干的东西就是今天的数学家们所从事的活动。
最后《数学：确定性的丧失》不是指1加2是不是等于3一类的问题，而是指：数学所描述的东西不再是“自然本身”所拥有的那样子——人类曾经那样认为过——那是一种幻觉而已。
爱因斯坦曾经说过：“我们不断对自然作出拷问：是这样吗? 是那样吗？自然界多数是沉默无语，偶然回答：也许是。”
我们可以把它用来描述今天的数学。
