过去一个世纪里随着专业哲学的衰败，学者们越来越倾向于试图用数学帮助他们理解哲学，却常常忘记了他们仍然需要有正确的哲学来帮助他们理解数学从而引发一些哲学上的乱象。
我曾在一篇关于形而上学的发展史概略的文章中指出，今天的主流哲学之缺少智慧的重要表现就是他们在形而上学（metaphysics），唯心论（idealism），辩证法（dialectics），和悖论（paradox）这几方面远落后于古希腊的哲人们。但在悖论这一项上，今天的哲学界可能会自以为比古希腊的哲人要强出许多来，不但因为牛顿所创立的微分学让他们感到可以在一些悖论上傲视古希腊悖论大师芝诺，而且因为他们似乎以为在掌握了现代数学逻辑之后，他们就可以用数学逻辑来解决一切悖论问题了。
本文将要讨论的两则上世纪产生的被主流哲学界拿来大肆吹捧的现代悖论就在不同的层面上反映出用数学来取代哲学可能带来的乱象。
（一）可知性悖论
著名的Fitch可知性悖论（Fitch's paradox of knowability）被称为是认识逻辑学（Epistemic Logic）的一个基本悖论[1]。按照斯坦福哲学百科全书上的介绍[2]， Fitch最初的结论为：“目前不知的真理都是不可知的（the existence of truths in fact unknown entails the existence of truths necessarily unknown）”，用符号逻辑表达出来为：
∃p(p∧¬Kp)?∃p(p∧¬◊Kp)
但是，现在流行的所谓的Fitch可知性悖论的实际表达为：“如果存在有可知的真理，那么所有的真理都是已知的。（if any truth can be known then it follows that every truth is in fact known）”。
很显然，不论是Fitch最初的结论还是人们通常所说的大名鼎鼎的Fitch悖论都与常理不符，因此，一定是 Fitch或者后来用不同的方法对其结果的进行推导论证的人在推导论证的过程中有逻辑上的错误。但是，自1963年Fitch的推导和结论被第一次发表以来，它却被学界正儿八经地当作了一个悖论。滑稽的是，在这个悖论中，被认为所悖的不是Fitch的结论有悖于正确的常理；如果那样的话，恐怕大多数人都会马上质疑它的推导论证的逻辑是否有问题。。。
今天Fitch悖论中被认为所悖的是“所有真理都是可知的”这么一句所谓的常理。
但问题是“所有真理都是可知的”这句话本身就不是一个正确的常理，只不过是某些人所持有的对于真理特性的误解而已。因此，即便Fitch的结论是正确的，那也只能算是纠正了某些人的错误观点而已，又怎么能算是悖论呢？
更何况Fitch的结论本身就是错误的，因此，所谓的Fitch悖论其实是学界把一个错误的结论作为另一个错误的“常理”的对立面，然后就把它形塑成一个了不起的现代悖论。
最初的推导者Frederic Fitch本人似乎并不认为那是个悖论，但学界却坚称其为悖论。这样一来，这个由数学逻辑推导出的一个完全不符合现实的结论经由故弄玄虚的哲学解释之后就成为一个被称之为颠覆了过去的常理的，可以作为所谓的认识逻辑学的基础的大名鼎鼎的悖论了。
其实，学界也确实有人出来指出Fitch的数学推导过程中所用的假设的错误，因而否认Fitch的结论是一个悖论（Brogaard and Salerno 2019）。但迄今为止，没有一个用来否认Fitch结论的数学推导论证得到了学界的公认，而学界讨论的焦点并非指出我在上面提到的将Fitch的结论作为悖论的可笑性，而是聚集在如何可以找出一个更合理地表达真理的可能性的数学模型，从而能避免Fitch悖论。因此，他们实际上与Fitch有着共同的出发点，那就是认为可以用数学的表达式来精准地描述人们在生活中对真理的表达，而其中的一个隐含的意思则是可以用数学的形式逻辑来完全表达哲学的问题。
即使是他们已经明显陷入了一个无止境的没有太多积极成效的争论漩涡之中，他们试图用数学取代哲学的热情似乎也并未减少。而与此同时，所谓的Fitch悖论仍被很多人当作一个高大上的学术瑰宝传播着[3]。。。。。。
（二）阿罗悖论
这个悖论源自诺贝尔经济学获奖者肯尼斯阿罗的博士论文[4]中提出的被誉为重要的社会选择理论的“阿罗可能性定理（也被普遍地称为不可能定理）”。在那篇文章中阿罗运用福利函数（welfare function）的概念通过将社会成员对社会效用（utility）的不同（alternative）的排序（ordering）的选择的问题进行符号形式化而表达为一种简单的公理结构，然后运用逻辑讨论得出了结论说，人们无法设计一个体系来通过完全自由的投票选择将个人的偏好反映为社会群体的偏好，其原因是无法消除被称为投票悖论的孔多塞悖论[5],[6]。
所谓的孔多塞悖论说的是当一个社群对三个或以上的选项的顺序进行两两对比投票来选出公众的偏好顺序时，可能因出现循环性选择而无法确定结果。比如，要公众对A，B，C三个选项进行投票，如果我们用大于号（>）来表示“优于”的话，那么可能会出现多数人选择A > B （选择A>B的人多于选择B>A的人），多数人选择B>C，同样也是多数人选择C>A。因此，人们无法通过多数人选择A>B和B>C得出多数人选择A>B>C的结论。
阿罗的（不）可能性定理说的是当至少有三个可供社会成员以任何方式进行排序的选择时，如果没有对单个排序的性质进行任何先决的假设，那么所得出的社会福利函数必然是强制性的或独裁性的。
本文后面的附录中有对阿罗在他的博士论文中对他的可能性定理（或不可能定理）的原始表述及推导的简介，文章后面也给出了阿罗的博士论文原文的链接，有兴趣的读者可以自己去查阅。阿罗在他的博士论文中对他的不可能定理给出了如下的诠释：
可能性定理表明，如果没有对单个排序的性质进行任何先决的假设，那么就没有投票方法可以消除第一部分中讨论的投票悖论，无论是哪种投票方式，无论是多重投票还是比例代表制，无论多复杂。类似地，市场机制无法产生理性的社会选择。
（英文原文：The Possibility Theorem shows that, if no prior assumptions are made about the nature of individual orderings, there is no method of voting which will remove the paradox of voting discussed in Part I, neither plurality voting nor any scheme of proportional representation, no matter how complicated. Similarly, the market mechanism does not create a rational social choice.）
后来这个可能性定理之所以成为了一个可以被称为是悖论的不可能定理是因为将“不存在独裁投票者”和“不得强制规定某个排序为选项”这两条加入到了定理的条件中。因为阿罗定理指出在所给出的条件下所得出的福利函数一定是强制性的或独裁的，因此当加入了上述两个条件后，它自然就成为了一个可以被称为是悖论的不可能定理了。
从上世纪50年代初至今的70年中阿罗悖论一直享誉世界社会学和经济学领域，著名的斯坦福哲学百科全书网站在相关的介绍文章[7]中对阿罗和他的不可能定理给出这样的评价：“不可能定理本身为当代社会选择理论设定了许多议程。阿罗还是一名研究生时就做到了这一点。 1972年，由于他的贡献，他获得了诺贝尔经济学奖。（英语原文：The impossibility theorem itself set much of the agenda for contemporary social choice theory. Arrow accomplished this while still a graduate student. In 1972, he received the Nobel Prize in economics for his contributions.）”
最近我在网上找了几篇英文和中文（包括中英文的维基百科在内）在内的介绍阿罗悖论的文章后发现，70年后的今天，学界的学者们对于阿罗悖论的认识之混乱令人错愕。尽管这些专业性的网站的文章对阿罗悖论在文字上叙述还基本正确，有的甚至远超出了阿罗悖论本身而引入的大量的相关或不相关的其它知识用来解释阿罗悖论，但是从他们所举的例子来看，竟没一人真理解了阿罗悖论。
不过这些文章往往具有这样的共同特点：1）还没理解悖论本身的哲学意义及适用条件，就直接跳到举例，因而出现举例不当的现象。这可以说是缺少了哲学理解的所谓现代经验科学（empirical sciences）比较容易出现的问题；2）与70年前阿罗的简单的形式论证相比，后来的人倾向于用更复杂的数学逻辑形式来证明阿罗悖论，这是现代学者们试图用数学逻辑来处理所有悖论问题之迷思的典型表现。
几点讨论：
首先，目前介绍阿罗悖论的文章常喜欢直接用特例来说明阿罗悖论。其实，与人们所熟悉的诸如理发师悖论等一些其它的悖论不同，阿罗悖论以及作为它的核心逻辑的孔多塞悖论并非是针对具体特例，而是在一般的开放条件下的悖论。因此，如果你用一个特例来说明阿罗悖论，我也可以用一个特例来否定阿罗悖论。以前面在介绍孔多塞悖论时提到的人们对A，B，C三个选项的投票为例，你可以用一个特例来说明人们因循环逻辑而得不出一个一致结论的特例，我也可以说投票的那天偏巧所有的人都同意A>B>C，所以无异议通过。因此，用具体的一个特例来说明阿罗悖论或孔多塞悖论都是不对。这两个悖论的意义是在给定的条件下人们无法设计一种投票方式来彻底排除出现那种循环逻辑的可能性。
第二，其实，我们并不需要象阿罗那样地来论证，更不需要象后来的人那样大动干戈地用数学逻辑进行证明，就应该能知道阿罗悖论的结果。这是因为前面提到过阿罗可能性定理所面对的是开放性的一般社群，并不是某个特例，而他在推出那个定理的过程中所假设的所有条件（见附录）都是对所有的选项x来说是同等的（即对称的），而对于投票者他也通过加入没有独裁者条件使得所有的投票者不但同等而且独立的，在这种情况下不用进行任何数学的推导，仅凭哲学思辨就应该知道不可能得到满足所有条件的能够决定一个排序的福利函数，因为任何一个确定的排序对于所给出的选项来说都是不对称的，或者说在任何一个确定的排序中的选项的地位是不同等的，而你在得出这个结果时所涉及的条件却是完全平等对称的，那是不可能的。
第三，目前介绍阿罗悖论的文章常喜欢直接用对人们仅有的三个选项A，B，C的排序进行投票来对阿罗悖论进行说明，甚至干脆还用三个人a，b，c对仅有的三个选项A，B，C的排序进行投票而出现A>B>C，B>C>A，及C>A>B 的状况来作为例子。这又是没有正确理解阿罗悖论及孔多塞悖论的表现。
其实在对仅有的三个选项A，B，C的排序进行投票的结果中出现上述这种因循环逻辑而完全无法决定结果的可能并不高，因为只有当各有严格的六分之一的人选择A>B>C，B>C>A，C>A>B， B>A>C, A>C>B, C>B>A时才会出现，否则的话，至少有一种排序可以马上给排除掉，通常来说，通过这种投票来淘汰掉几个或选出一个的机会还是很大的。
而阿罗悖论或孔多塞悖论中讨论的是针对两两比较进行投票的情况，这时就很容易出现那两个悖论所提到的循环逻辑。也就是说，当要人们决定A与B哪个更好的时候，可能会出现多数人选择A>B的情况，当要人们决定B和C哪个更好的时候，仍然可能会出现多数人选择B>C的情况，但是这并不等于多数人一定会认为A>C，也就是说同样可能会出现多数人认为C>A。而在这三种情况下的多数人并不一定是同一组人。比如，在对A和B投票时的少数人有可能与对B和C投票时的多数人结合在一起选择C>A，等等。在现实生活中同一组人选择A>B，B>C，和C>A也是可能的，不过那不是阿罗和孔多塞所考虑的状况。
一般来说，随着总的选择项的数目的增加，通过两两比较而出现某种循环逻辑的机会也增大。实际上对于N个选择项来说，如果要民众投票决定N-1个或更少个（只要>=2）个排序的话，出现某种循环逻辑的机会就比较大，只不过一般人们不会去进行这样的选择，而是要对全部N个进行排序，要就对两两进行比较。
第四，对排序进行公众投票属于是一种理想的研究经济的模型。如果象一般的民主政治选举那样对所有的选项进行投票，而不是对排序进行投票，然后按照得票多少来进行相关的排序的话，就不会出现阿罗悖论或孔多塞悖论的状况。因此，如阿罗自己在他的论文中指出的，他的可能性定理所针对的仅是如何将社会上的个人偏好通过自由投票的机制来转换成社会整体的偏好这个议题而已。而今天介绍阿罗悖论的文章通常没有指出这一点，而是经常夸大了它的适用性。
结论：
在阿罗悖论被提出了70年之后，学者们表现出的对于阿罗悖论的理解上的混乱表明用数学形式的论证取代哲学的思辨并不能让问题变得对公众来说更容易理解，但是却更能吸引公众的注意力。如果当年阿罗没有将问题进行形式化的表达并进行简单的形式逻辑的论证而只是用我上面的那几句哲学的思辨来说明相关的不可能性，恐怕就不会引起社会及学界的相同的兴趣，甚至可能都难以通过他的博士答辩。换句话说，过去几个世纪里在专业学界（首先是专业哲学界）的带领下人们放弃哲学思辨而追求所谓的形式的（formal）表达和经验的（empirical）的调查并非完全是为了能使问题显得更容易理解和把握，而是在很大程度上为了获得一种不同于日常对话的特殊的专业感觉。这种文化现象的重要起因是专业哲学界无力带领社会整体的哲学思辨能力的提升，而这种文化的一个严重的直接后果便是社会整体的哲学思辨能力的大幅衰退。
（三）附录 阿罗在博士论文中给出的关于他的可能性定理（不可能定理）的推导
阿罗在他的博士论文中对社会福利函数做了如下的定义：
定义3：“社会福利函数”指的是针对任何一组个人社会状态选择排序R1,. . . ，Rn （每个人一个排序）而言的过程或规则，通过这个过程或规则得出相应的整体的社会状态的排序选择， R。
（英文原文：Definition 3: By a "social welfare function" will be meant a process or rule which, for each set of individual orderings R1,. . . ，Rn for alternative social states (one ordering for each individual), states a corresponding social ordering of alternative social states, R.）
他在该论文中给出的可能性定理的表述如下：
如果至少有三个可供社会成员以任何方式进行排序的选择，那么每个满足条件2和3并能给出满足公理I和II的社会性排序的社会福利函数必然是强制性的或独裁性的。
（英文原文：If there are at least three alternatives among which the members of the society are free to order in any way, then every social welfare function satisfying Conditions 2 and 3 and yielding a social ordering satisfying Axioms I and II must be either imposed or dictatorial.）
其中的条件2和3如下：
条件2：如果一个社会状态选项x在每个人的排序选择中上升或不下降，而这些顺序没有任何其他变化，并且x在单个排序变化之前比y优先，那么x仍然比y更优先。
（英文原文：Condition 2: If an alternative social state x rises or does not fall in the ordering of each individual without any other change in those orderings and if x was preferred to another alternative y before the change in individual orderings. then x is still preferred to y. ）
条件3：令R1，R2和R1'，R2'为两组单独的排序。 如果对于一个给定的集合S中的个体i以及所有x和y，当且仅当xRi'y时，xRiy，则由S做出的社会选择是相同的，无论个体顺序是R1，R2还是R1'，R2'。
（英文原文：Condition 3: Let R1, R2, and R1', R2' be two sets of individual orderings. If, for both individuals i and for all x and y in a given set of alternatives S, xRiy if and only if xRi'y, then the social choice made from S is the same whether the individual orderings are R1, R2, or R1', R2'.）
其中，xRiy的意思是在Ri中x不会排在y后面。阿罗将这条件3称作独立于无关变量的条件（Independence of irrelevant alternatives），他的解释是：公众对于x和y的排序的选择不会受到其它选择项的变化的影响。他特别用一个不满足条件3的例子来对条件3进行解释，在那个例子中共有四个选项x，y，z，w，和三个选民。投票结果的顺序是x，z， y，w；但如果把y从选项中除去，则x和z成为并列第一，因此不满足条件3。
而上述的可能性定理中所说的公理I和II如下：
公理I：对于所有x和y，xRy或yRx。
（英文原文：Axiom I: For all x and y, either xRy or yRx. ）
公理II：对于所有x，y和z，xRy和yRz表示xRz。
（英文原文：Axiom II: For all x, y, and z, xRy and yRz imply xRz. ）
其中R表示对所有被选择元素的一种排序，xRy则表示x不会排在y后面。
[1]https://en.wikipedia.org/wiki/Fitch%27s_paradox_of_knowability?fbclid=IwAR3p80whYpn5xvn2RBIf6J4IYFMRIxutXibGIvk5Z8GD8cTnbaVLMGrWzlg
[2] Brogaard, Berit and Salerno, Joe. "Fitch’s Paradox of Knowability", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2019 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = <https://plato.stanford.edu/archives/fall2019/entries/fitch-paradox/>.
[3]http://thiseven.blogspot.com/2013/07/fitchparadox-of-knowability.html
[4] Arrow, Kenneth J. (1950). "A Difficulty in the Concept of Social Welfare" (PDF). Journal of Political Economy. 58 (4): 328–346. doi:10.1086/256963. JSTOR 1828886. S2CID 13923619. Archived from the original (PDF) on 2011-07-20.
[5] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8A%95%E7%A5%A8%E6%82%96%E8%AE%BA （这篇中文的介绍过于简单，如感到困惑，请看下面一篇英文的）
[6] https://en.wikipedia.org/wiki/Condorcet_paradox
[7] Morreau, Michael, "Arrow’s Theorem", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2019 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = <https://plato.stanford.edu/archives/win2019/entries/arrows-theorem/>.
