自然语言与形式语言

数论是一门学科,也是我的人生。有人把酒论英雄,我用数字描天下。
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自然语言是人类用来表达意义、进行交流的工具;它具有声音、形象(符号、文字)二重性,正如任何物体的波(虚)、粒(实)二重性。要成为一个体系,必须具备三重要素:(1)足够多的文字或波段,用以表达所有的实物(存在),(2)文字/波段之间的结合/关联或作用机制,(3)控制关联方式的规则或公理;这是一个系统的根本,是所有个体约定的、无可质疑的首要意义。

在封建或极权垄断社会,统治者有很多禁忌,民众不得提及,甚至不能想起。在今天的互联网时代,既有政治极权,还有数位极权;独裁者让你消身,互联网巨头则让你消声。民众只能另创符号体系,用同音似形的文字代替,以规避审查。等到极权者规避全部现有词汇的时候,他们的末日也就到了;再换上另一批人,使用新创造的符号和规则,进行下一轮的统治。这就是人类。

其实,人类发明的唯一东西就是表意符号。不能说某人发明了电灯或者飞机或者氢弹,只能说发现了某些东西的运作机制。物质或能量不是人类或者任何生物能够创造或者消灭的。事物的运作机制就是客观,也就是科学;宗教信仰可以说精神意义上的高级科学。

人类的自然语言不适合用作科学语言,因为它的声/形不停地在变,意义具有模糊性和主观性。我们需要创造一种形式化的符号语言,它能够表达STEAM(Science,Technology,Engineering,Arts,Mathematics)中的所有思想,形式永不变,意义唯一;这能够做到吗?

科学包括物理、化学、天文、地理、生物、心理、计算机;艺术包括文学、绘画、音乐、舞蹈、雕塑、戏剧、建筑、电影八大类别。全部科学可以统一在定量与随机场论之下,全部工程技艺可以用组合设计与优化过程来表示。数学是所有学问的基础,它研究的是形与数的艺术。全部可以统一在公理与分析集合论之下;所有一切的一切,都可以用形式推演与语义赋值来表示。

一个形式推演系统可以记为L= (D,R,A),其中D是个体/研究对象的集合,R是结合规则(或函数/变换)的集合,A是推演规则/公理的集合。再用E表示按结合规则所得到的所有表达式/公式的集合;E对所有结合规则具有封闭性。E中的表达式必须满足:(1)唯一性;每个表达式都是唯一生成的,重复生成者算作相同的。(2)可归纳定义;每个表达式都可以在可数步内(最好是有限步内),由R中的规则逐步得到。(3)无循环定义;归纳过程中不能出现由F到G,接着又由G到F。(4)可满足性;即存在一种对个体的解释/赋真值方式,在给定的推演规则/公理A下,表达式的值为真/非零。如果一个表达式,无论对个体如何赋值,它总是为真,就称为一个重言式(恒等式)。所有重言式的集合记为T,它包含公理集A。

推演规则的集合A,要求是可枚举递归的,即演算过程是可数个公式的序列,其中每个公式都是公理或者前面推出的公式。最好还有紧致性,即推演过程必须在有限步内完成;最后得到的公式称为定理。所有定理的集合记为F。推理的可靠性要求,任何定理都是重言式—F包含T。有的系统还具有完备性—所有恒等式/重言式都是可以证明的,即T包含F。当然可以把所有恒等式都当作公理,使系统满足完备性;但是,当集合D的基数非有限时,集合T是不可数的,甚至是不可分的—失去了可数生成化;而且系统还会失去兼容性—可以同时推出两个互相否定的定理—P与~P。

逻辑推理/演算的关键是怎么进行下一步,这是一个人聪明程度/智力的体现。对于给定运算规则集R,(1)如果是有限的,可以逐条套用;如果得到新的公式,将其保留,再对此公式套用下一条规则;如果得到已经出现过的公式,将其去掉,直到套用完全部运算规则。(2)如果R是可数无穷的,则用归纳原理去找规律。如果出现循环就终止;如果永无循环,就用一个自然数变量n标示所有公式。(3)如果R的基数是连续的,就开展分析学;如果公式中出现的表达式能够积分化,就说得到了一个完备的公式集,进一步开展高阶逻辑。如果出现不可积分化的表达式,就引进连续和,生成新的个体集,展开高阶逻辑。

我们当然可以修改推理规则和公理,代价则是自相矛盾。如果允许用意义或形式相近的表达式代替,那么,三、五轮之后可能得出完全相反的结论/公式。解决办法是去掉排中律:在P与非P之外,至少还有第三方存在。比如最简单的表决,除了赞成和反对,还可以弃权;电性除了正、负之外,还有中性。对于具有连续基数c的集合,对其成员的赋值必须连续化,要赋予全部的实数区间【-c,c】,或用一对一准则,对应到区间【-1,1】。

现行的学校教育体制毫无逻辑可言!(1)概念的定义陷入死循环。比如,有科学老师这么定义酸(Acid): PH值很低的物质。你再问他:什么是PH值,他会告诉你,是酸性的一种度量。就连Power of Hydrogen的本意都说不出。我们可以争论 “先有鸡还是先有蛋” ,但若明了生命的形成过程,答案是不言自明的。(2)对象的定义与公式/演算规则混为一谈。比如把导数的定义称为第一准则;三角函数的定义都还没有就去画图。一个十年级数学老师更是直言,她从来布在课堂上教任何数学公式。(3)各门课程相互脱节,哪个在前,哪个在后都搞不清。十年级的科学要学PH值,可什么是对数呢?要到12年级才教;什么是离子的结构呢?要到12年级才教。十年级要学Snell‘s Law,可三角函数要到11年级才教。有所学校,还把微积分放在函数之前教。尽管可以用计算器,这对于概念的理解毫无用处。(4)毫无量化意识。生物学、气候变化、心理规则,都是夸夸其谈,没有精准的定量描述,也没有随机分布规律的表示。

如何将物体量化表示,以及如何制定推理/演算规则,请听下回分解。

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