【续前】克拉梅尔与二十世纪的概率统计学（上）
https://blog.wenxuecity.com/myblog/78059/202302/949.html
在第二次世界大战期间，不同国家数学家之间的交流几乎中断，但他们仍然坚持各自的研究。由于战时防空射击控制和雷达噪音过滤的需要，柯尔莫哥洛夫和维纳在互不知情的情况下，分别在苏联和美国各自独立地对平稳随机过程作出了重要工作。1940年纳粹德国突袭并占领了丹麦和挪威，芬兰与苏联正是交战双方，中立国瑞典成为与世隔绝的孤岛。克拉梅尔的Stockholm团队与国际间的交流也减少到了最低程度，但他以极大努力保持研究团队的正常运作和对外联系。战争期间Norrtullsgatan街16号的研究所成为一些北欧同行的避难所，来访者中包括丹麦数学家Harald Bohr和挪威数学家Olav Reiersoel，1941年2月克拉梅尔还组织了一个概率论国际会议。
1942年克拉梅尔发表了一篇题为《某些函数空间上的调和分析》的文章，给出了Hilbert空间中酉群谱表示的Stone定理的一个概率论版本，直到战后他才得知这一理论对于随机过程研究的重要性。1944年Carl-Gustav Esseen在Uppsala大学以题为《关于概率分布的Fourier分析》的论文进行博士学位答辩，这是一篇以深入研究特征函数的性质为基础的重要论文，文中推广了克拉梅尔早年关于中心极限定理及误差估计的结果，被命名为Ber-Esseen定理。1967-1984年间Esseen成为Uppsala大学第一位数理统计教授，笔者1980年代末在那里读博期间，不时会在系里遇到已经荣休的Esseen，那时他已经需要借助代步车行动了。
1920年以来以R. A. Fisher为代表的英美统计学家们在统计科学取得了巨大进展，因此克拉梅尔利用与世隔绝的这几年撰写了他的第二本专著《统计学的数学方法》并于1946年出版，他在撰写这本著作时还常将一些篇章作为讨论班的内容，使学生们得到极好的训练。书中克拉梅尔将概率统计领域的两大发展方向——法国和苏联学派关于概率论基础理论方面的研究与英美学派的统计推断科学有机地结合在一起，对现代统计数学方法作了全面阐述，这之前在概率论基础上的统计学理论尚未建立。该书在概率统计学历史上是一本里程碑式的著作，成为战后克拉梅尔进入新世界的入场券，后来被译成英、俄、日、中、西班牙等多种文字，几十年间在多个国家作为教科书和研究参考书使用。
二战结束后，在国际范围内开展科学研究工作以及与各国同行进行交流重新成为可能。经过20多年来的迅速发展，概率论也已经作为一个结构严谨的纯数学分支进入战后的世界。战争结束后不久，克拉梅尔就收到来自巴黎、普林斯顿、耶鲁、加州柏克莱等大学的邀请，作系列报告或访问教授。1946年9月克拉梅尔开始了他的第一次美国之行，在普林斯顿他见到了Feller、Neyman、Wiener等老朋友，结识了J. L. Doob等后起之秀以及一批出色的年轻人，在美国度过了快乐并富有成效的两年。整个1940年代，克拉梅尔的Stockholm研究所也是成果卓著，多位博士生在这个时期答辩。图为在普林斯顿期间，克拉梅尔与美国数学家约翰·冯·诺伊曼 (John von Neumann，左) 及Oswald Veblen (右) 的合影。
除了学术研究之外，克拉梅尔同时具有卓越的管理和社交才能，还是一位出众的演说家。他回到瑞典后于1950年被任命为Stockholm大学校长、1958年被任命为瑞典高教系统总校长，直到1961年退休。虽然行政工作占据了他很大一部分时间，但克拉梅尔仍然坚持领导自己的团队从事研究工作。笔者在复旦读书时的老师汪嘉冈先生曾说起，1960年代初在他们大学高年级开始学做科研时，最初阅读的论文除了柯尔莫哥洛夫的之外，就是北欧学者的工作，其中包括克拉梅尔的学生Grenander于1950年完成的博士论文《随机过程与统计推断》以及1957年与Murry Rosenblatt合写的专著《平稳时间序列的统计分析》。
1955年作为Stockholm大学的代表，克拉梅尔应邀参加莫斯科大学200周年校庆，在那里他高兴地见到了柯尔莫哥洛夫及莫斯科大学概率研究组的其他同行。用克拉梅尔自己的话说，柯尔莫哥洛夫 “给人一个科学巨人的形象”，他们的研究团队 “形成了有惊人科学活力的群体”，后来柯尔莫哥洛夫经常访问Stockholm并与克拉梅尔的团队进行交流。左图1951年摄于Stockholm大学，右图1958年摄于Uppsala大学。
1961年克拉梅尔退休后无官一身轻，作回自由自在的科学家，焕发出第二次学术青春。克拉梅尔经常到世界各地学术旅行，并加速他在十多年担任大学校长期间放缓了的科学研究。克拉梅尔退休之后致力于多维随机过程理论的研究，70岁之后还发表了十余篇论文，73岁时他与M. R. Leaer合作出版了第四本专著《平稳过程及相关的随机过程》。86岁之后仍然在各种专业学术会议上发表演讲，最后一篇文章发表时已经89岁，1984年6月接近91岁高龄时他还在瑞典西部城市哥德堡举行的"随机过程及其应用"的国际会议上作报告。
虽然克拉梅尔本人作为一位理论概率论和数理统计学家闻名于世，但他同时从事精算师及保险业咨询工作长达40余年，他在保险数学方面很多早期的重要结果都来源于实际问题。由于没有相应的数学理论支持，19世纪末瑞典多家保险公司纷纷破产，因此克拉梅尔很早就意识到概率论和保险业是相辅相成、互相依存的。早在1920年代，克拉梅尔就是认识到Lundberg风险模型重要意义的少数几人之一，他在用严格但易懂的方式表述和发展Lundberg模型方面做了许多工作。Anders Martin-Löf在《Harald Cramér与保险数学》一文中指出，克拉梅尔对分析和解释复杂问题的杰出能力使他在保险精算界中拥有无可争议的权威。克拉梅尔倡导了对于溢价估计非常必要的偏差精确讨论，并开发了在设定保险费率中使用多年的 “零点法”，他还鼓励自己的学生从事应用领域的工作，比如Herman Wold成为计量经济学家、Ove Lundberg从事保险业、Bertil Matern从事森林业。1955年克拉梅尔出版了一本关于风险理论的专著。
1900年前后的几十年时间里，Mittag-Leffler领导的Stockholm School中聚集了多位著名数学家，而他本人又是一位实业家，曾大力投资金融保险业。因此Mittag-Leffler本人以及他的同事们非常感兴趣数学在保险精算业的应用，设立保险数学方面的教授位置的建议最初也是他提出来的。Mittag-Leffler于1904年创立了瑞典精算师协会SAf并作首任主席（任期1904-1909），第二任主席Edward Phragmén（任期1909-1935）是Mittag-Leffler的学生及Stockholm大学的数学教授，后来担任过多家大保险公司的高管或总裁，他的父亲Lars Phragmen就是一位数学博士和精算师。克拉梅尔自然成为Phragmen继任者的不二人选，担任第三任主席长达27年（任期1935-1962）。
1930和1940年代，克拉梅尔参与大量的保险业实际工作，并担任一些负责制定保险法律条例的政府部门相关委员会的成员。Jan Hagberg在纪念SAf成立100周年的文章 [3] 中回忆，1948年英国精算师协会主席Sir Andrew Rowell对一位约好与克拉梅尔在一家火车站会面的助手说：“记住你要寻找的人看起来并不像教授，而是像一位成功的企业家”。图片依次是SAf为前三位主席制作的纪念章正面头像，右下图为SAf的会标——一个被称为"沟算盘"的古罗马算盘。
克拉梅尔一生共指导了十位博士生，后来享誉世界的华裔数学家锺开莱（1917–2009）是克拉梅尔访问普林斯顿期间唯一的博士生。有趣的是克拉梅尔博士毕业那年锺开莱出生，二人都活到92岁高龄。抗战期间锺开莱在昆明西南联大读书，本科先修物理，因与理学院院长吴有训“有所不快"”转入数学系。研究生阶段锺开莱师从华罗庚主修解析数论，同时私下开始研究概率论，又一次引起师生间的矛盾。因此锺开莱转投许宝騄门下，名正言顺地攻读概率论。1944年锺开莱考取清华第六届即最后一届庚款公费留美，前往普林斯顿大学读博。根据文学城博主@元亨利 的文章，锺开莱与杨振宁、吴仲华等一行17人，乘坐司徒将军（General M. B. Stewart) 号邮轮于1945年10月27日自印度的加尔格答出发，11月24日抵达纽约港。
据说锺开莱抵美第一天拖着行李走进普林斯顿最好的法式餐厅，准备大吃一顿时，一眼认出食客中的概率统计学界大牛克拉梅尔，于是径直上前自我介绍。一顿饭后，锺开莱即成为克拉梅尔的学生，两年后顺利获得博士学位。笔者在Uppsala读博时选修一门概率论课程，使用的就是锺先生编写的教材，任课教授Allan Gut对锺先生推崇备至。克拉梅尔和锺开莱这对师徒的求学道路还真有些相似之处，都是二次改换门庭，每次均师从相应领域具有国际声誉的顶尖学者，而且最后都是从解析数论转向概率论。这也许完全是一个随机事件，但冥冥之中也可能存在某种定数和缘分。Who knows？
行文至此，不能不提到锺开莱在西南联大时期的恩师许宝騄 (1910-1970) 先生，许宝騄是20世纪与陈省身和华罗庚齐名、举世公认的在概率论和数理统计领域第一位具有国际声望的中国数学家。他1936年考取赴英留学，前往伦敦大学学院统计系读博，成为统计学大师Neyman最得意的弟子。许宝騄三、四十年代在多元统计分析、Neyman-Pearson理论、参数估计理论、样本方差分布的渐进展开等方面取得的卓越成就，使得他成为数理统计领域的奠基人之一。1945年许宝騄应Neyman和另一位著名统计学家H.Hotelling之邀赴美讲学，并协助后者在北卡罗莱纳大学创建了美国大学里第一个统计系。1947年秋，许宝騄谢绝Neyman的挽留和美国多所大学的聘请，回国到北大任教，1948年他与姜立夫、陈省身、华罗庚、苏步青一起当选为首批中研院院士。
前文提到Neyman是克拉梅尔的好友，许宝騄在伦敦期间曾熟读克拉梅尔的著作《随机变量和概率分布》并在极限理论方面作出了重要工作，二人还于1940年代中后期在美国相遇。令人唏嘘的是，许宝騄在战争和动乱年代积劳成疾，郁郁不得志，一代宗师在花甲之年就撒手人寰。同时也不由地让人心生感叹，即使在被世界大战隔绝的一片片孤立的陆地和岛屿上，不同国家、种族、信仰的数学家们，依然守住内心那一方净土，并搭建起共同的科学殿堂。数学是所有数学家的宗教，峰回路转，世界其实并不大。上图为克拉梅尔与英国著名统计学家M. S. Bartlett (左) 和许宝騄 (右)、下图为克拉梅尔与锺开莱，均摄于美国。
克拉梅尔是一位谦和礼貌、善解人意、具有绅士风度的谦谦君子，永远衣冠楚楚。无论是他的文章著作、课堂教学、讲座报告，还是对学生的个人指导，处处散发着无与伦比的个人魅力，并对其研究领域产生着长久的影响。很多人从世界各地慕名前来拜访克拉梅尔，他的课堂和讲座上总是座无虚席，家中也常常是高朋满座。克拉梅尔始终给年轻后学强有力的支持和鼓励，他的学生们都十分尊敬和爱戴他。克拉梅尔的关门弟子Gunnar Blom曾撰文回忆起1940年代动荡的战争岁月中，他们这些年轻学生挤在Norrtullsgatan街16号狭小但舒适的研究所楼房里，用手摇计算器进行长长的计算，到附近的咖啡吧读书讨论消磨时光，看克拉梅尔用他手中神奇的魔棒将枯燥的数学公式点化成美丽的诗句。
Grenander也在访谈录中回忆了1940年代他读本科时参加Uppsala大学Arne Beurling和Stockholm大学克拉梅尔两位大师讨论班的难忘时光，他说近距离观察和感受杰出的大脑是怎样工作使自己终身受益。1940年代末克拉梅尔从美国归来之后，常常在每年五月学期结束前将他的弟子们请到郊外Djursholm的家中，享用女主人Marta亲手烹制的美味晚餐，边喝咖啡边讲述他们的旅行见闻。Stockholm大学统计学教授Daniel Thorburn在文章 [8] 中回忆道，晚年的克拉梅尔双耳几乎完全失聪。Thorburn记得最后一次聆听克拉梅尔的讲座时，当克拉梅尔通过儿子Tomas的翻译理解了听众的提问后，他的回答仍然一如既往地清晰有条理。图为研究所附近当年克拉梅尔和同事、学生们常常光顾的咖啡吧。
1985年4月仲春的一天，Blom来到克拉梅尔家中探望，他在Marta去世后搬到离城里较近的狩猎岛Djurgården居住，那时克拉梅尔的视力已严重衰退，无法欣赏窗外水上点点白帆的美景了。他们一起谈论往事和新闻，克拉梅尔的头脑依旧十分清楚并对所有事情充满兴趣。然而空气中弥漫着忧郁的气息，两人心里都明白这大概是最后一次见面了。同年10月5日，克拉梅尔平静离世，走完92年非凡的一生，回到天堂与他亲爱的Marta团聚了，如同普林斯顿大学Erhan Ç?nlar教授所言： “死亡不就是一个随机分布吗？”
1958年克拉梅尔描述Phragmen的一段话也是对他自己一生的最好总结，他 “属于这样一代数学家，对于他们来说，不言而喻的是数学是构成人类思想的最高形式之一、甚至可能是唯一的。数字是人类思想的必要形式，数学科学是一个具有自身文化价值的中心人文学科。它完全独立于其在技术或其他领域的辅助科学的作用，然而这并不意味着数学家们低估了 ‘使用理论知识获得实用技能’的重要性。” 人们都说，20世纪中叶是群贤毕至、大师云集的年代，这些昔日的大师们都已化作浩瀚宇宙中一颗颗灿烂的星辰，而将他们用毕生心血创造的思想财富留存于世，令人由衷地敬仰！Blom的回忆文章是这样结束的：“克拉梅尔虽然离去了，但对他的回忆和怀念永存于概率统计学的历史上及他的学生和崇拜者心中，他是一个伟大的科学家和一个好人”。
【注】本文刊登于《数学文化》期刊。
