第四章 从数学家到精神病患者 ——集合论的创立与康托尔的遭遇 19世纪末期，数学界出现了一件引人注目的事情。一位名叫康托尔（G.Cantor， 1845－1918）的德国数学家提出一种令人费解的古怪理论----集合论。它的内容是 如此与常识格格不入，以致于一出世就引起了一场轩然大波。 无穷世界的“探险家” 集合论的出现，向人们展示了一个由无穷数量关系组成的新奇世界。康托尔是 凭着探险家的勇气闯入这个新奇世界的。他发现了许多简直难以置信的事情。 康托尔是在研究微积分理论的逻辑基础问题时，开始着手创立集合论的。自从 17世纪牛顿（I.Newton，1642－1727）和莱布尼茨（G.W.Leibniz，1646－1716） 创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论一直缺乏一个严格的 逻辑基础。它的一些基本概念的表述，还有某些混乱和自相矛盾之处。从19世纪开 始，柯西（A.L.Cauchy，1789－1857）、魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass，1815 －1897）等人进行了微积分理论严格化的工作。他们建立了极限理论，并把极限理 论的基础归结为实数理论。那么，实数理论的基础又该是什么呢？康托尔试图用集 合论来作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础。 出于这一目的，康托尔用集合的观点重新考察各种数量关系，特别是无穷数量 关系。他发现，无穷集合有着有穷数量关系所不具备的性质。比如，在无穷集合领 域，所有整数和所有偶数之间是一一对应的，所有理数和所有整数之间是一一对应 的，平面上所有的点和线段上所有的点是一一对应的，……概言之，在无穷的世界 里，整体的所有元素和部分的所有元素之间可以是一一对应的。另外，无穷集合并 不都是相等的，比如所有实数和所有有理数之间就不是一一对应的。因而，无穷集 合是有大小的。集合论用“基数”这个概念来表示无穷集合间的区别。那么，有没 有一个最大的集合呢？康托尔通过研究，否定了这个想法。因为每个已知集合的所 有子集所构成集合，其基数都大于已知集合的基数。既然没有最大的基数，当然也 没有最大的集合。无穷世界里的这些性质，初看起来，真是令人头晕目眩。甚至康 托尔本人在创立集合论的过程上，也时时感到心神不定。他在获得线性连续统和π 维连续统之间有一一对应关系的结果后，写信给数学家戴德金（R.Dedekind，1831 －1916）说：“我见到了，但我不相信”。然而，集合论的成果毕竟是有严格逻辑 根据的。并且它在解决实数理论逻辑基础问题中发挥了别的理论无法取代的重要作 用。实践使康托尔坚定了信心，更加勇敢地前进，大胆挖掘无穷世界里的宝藏。他 在提出超限基数和超限序数的过程中说：“我确实不知道，什么能够限制我们这种 形成新数的活动，只要可以说明，为了科学的发展，引入一个这种无穷的新数对于 研究是需要的或者是不可少的”。 从数学家到精神病患者 康托尔的研究成果发表之后，马上遭致当时一些赫赫有名的数学家的激烈攻击。 德国数学家克隆尼克（L.Kronecker，1823－1891）是这些人中言辞最激烈、攻击 时间最长的一个。 克隆尼克比康托尔年长22岁。当康托尔还是柏林大学的学生时，克隆尼克已经 是在这个学校任教的著名数学家了。克隆尼克在数学上，特别是在高等代数方面有 很多贡献。然而他一有个坏毛病，就是习惯于用刻薄的语言无情地攻击所有和他意 见不一致的数学家。他主张，除非一种数学对象能够用有限步骤从自然数中构造出 来，否则不能认为它在数学上是存在的。他有一句“名言”：“上帝创造了自然数， 其余的一切才是人做的工作”。因此，他否认无理数的存在，也否认极限理论的意 义。他常常讥笑魏尔斯特拉斯的工作：“有趣，可惜不是数学”。他和数学家林德 曼谈话时说：“你那个关于π的漂亮研究有什么用呢？无理数根本就不存在，你为 什么要研究这种问题？虽然康托尔是他的学生，但由于集合论的内容同他的主张大 相径庭，所以克隆尼克简直到了不能容忍的程度。他认为，康托尔关于超限数的研 究，是一种非常危险的数学疯病。因而他各种用得上提尖刻语言，粗暴地、连续不 断地攻击康托尔达十年之久。他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔，这在 许多数学家看来是很过分的事情。康托尔一直在哈勒大学任教，薪金很微薄，几次 想在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位。但由于克隆尼克横加阻挠，使 得康托尔想在柏林得到职位而改善其地位的任何努力都遭到挫折。克隆尼克的影响 还使康托尔的学术论文一再延误发表日期。总之，克隆尼克的专横无理令人震惊， 他的激烈攻击使康托尔的精神状态受到极大损害。 除了克隆尼克之外，还有一些著名数学家也对集合论发表了反对意见。法国数 学家彭加勒（H.Poi-ncare，1854－1912）说：“我个人，而且还不只我一人，认 为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西”。他把集 合论当作一个有趣的“病理学的情形”来谈，并且预测说：“后一代将把（Cantor） 集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了”。德国数学家魏尔（C.H.Her- mann Wey1，1885－1955）认为，康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾。菲利克 斯．克莱因（F.Klein，1849－1925）也不赞成集合论的思想。数学家H．A．施瓦 兹原来是康托尔的好友，但他由于反对集合论而同康托尔断交。 在克隆尼克等人的围攻和反对下，康托尔的精神逐渐崩溃了。他天性神经过敏， 容易激动，经受不了这种暴风雨岙的攻击。尽管有希尔伯特（D.Hilbert，1862－ 1943）等著名数学家赞同他的集合论，尽管他的集合论事实上已取得巨大的成功， 仍未能使康托尔感到欣慰和满足。从1884年春天起，即在他40岁的时候，他患了严 重的忧郁症，极度沮丧，神态不安。在他生命的最后几十年里，这种精神病时时发 作，使他不得不经常住到精神病院的疗养所去。他变得很自卑，甚至怀疑自己的工 作是否可靠。他请求哈勒大学当局把他的数学教授职位改为哲学教授职位。不过， 在精神病发作的间歇阶段，康托尔仍然顽强地坚持集合论的研究。而且当每次从精 神病发作中恢复过来的时候，他都感到自己的脑子变得格外清晰。他在集合论方面 许多非常出色的成果，都是在精神病发作的间歇时期获得的。然而，长期的精神折 磨所造成的危害毕竟是不容忽视的。由于健康状况逐渐恶化，1918年，他在哈勒大 学附属精神病院去世。 康托尔的结局是悲惨的。英国科学史家E．T．贝尔回顾这段往事时说，克隆尼 克认为集合论的出现是一种数学疯病。然而被送进精神病院的并不是集合论而是康 托尔。克隆尼克的攻击实际上打垮了这一理论的创造者。一位数学家为自己创立的 理论付出这样大的代价，这种事情在数学史上还是不多见的。 “悲剧”的成因 在造成康托尔的悲剧的诸因素中，克隆尼克时常被人们指责为罪魁祸首。然而， 其他方面因素也是同样值得重视的。只有把各种因素联系起来思考，才能全面认识 形成这一悲剧的原因。 克隆尼克等人的围攻之所以能够奏效，与康托尔本人的思想状况是有直接关系 的。这不仅是由于康托尔的性情，更主要的还是思维方法上的原因。康托尔相信自 己在创立一种合理的有关无穷的理论方面迈出了第一步，也是最后的一步。他迫切 希望人们给予承认和高度赞赏。缺乏承认的局面激怒了他，才使他控制不了自己的 情绪，不自觉地进入忧郁症的状态。数学家A．舍恩弗里斯认为，康托尔的健康恶化 是由于他竭尽全力想解决各种问题，特别是“连德统假设”问题。这可能也是一个 重要原因。无论如何，康托尔缺乏罗巴切夫斯基（H.И.ЛoqaЧebckИЙ，1792－ 1886）那样的冷静头脑和宽阔胸怀。他过于自信，但却不坚定，他十分勇敢，但却 不沉着。他缺少对相反意见和讥讽嘲笑的充足思想准备，以为一个新事物一出世就 会引起世人喝采。因而当自已的希望破灭之后，就难免颓唐失望，使身心遭受不应 有的损害。 还应看到，康托尔对于来自各方面的反对意见，不是完全依靠集合论的现实根 据，通过发展集合论的实际应用效果来加以反驳，而是经常求助于对柏拉图主义的 信仰。他把集合论看作是“形而上学的理论”，相信无穷集合“既具体又抽象地” 实际存在着，和柏拉图的“理念”是一样的东西。他有着把数学和神学、哲学调和 起来的倾向，明确表示信奉柏拉图体系的原理以及莱布尼茨、托马斯．阿奎那（Th omas Aquinas，1225－1274）等人的理论。可是，在严肃的数学争论问题面前， 求助于唯心论和宗教信仰是无用的。康托尔对反对意见的答辩，时常显得苍白无力， 起不到说服对方的作用。恰恰相反，反对意见却时常能长驱直入，不仅打击集合论 发展中的某些薄弱环节，而且震憾了康托尔把数学、神学和哲学纠缠在一起的内心 世界。任何数学上新事物的成长，都必须从现实中汲取营养。像集合论这样远远超 出一般人常识的新理论，更需要在现实中一步一步开拓自己的前进道路。康托尔一 只脚踏在数学领域上，另一只脚踏在唯心主义和宗教的泥坑里，难免在风浪面前摇 摆不定，摔得到处是伤。 康托尔本人也存在思想弱点，这是造成他一生悲剧的内因。外界的反对力量过 于强大，则是造成悲剧的外因。假若只是克隆尼克一个人，或再带着几个影响较小 的数学家反对集合论，那么造成的声势就会小得多，康托尔也未必承受不了反对力 量的打击。然而在反对阵营里还有彭加勒、魏耳和菲利克斯．克莱因，他们都是当 时数学界举足轻重、极有影响的人物。而且他们在其他方面往往是思想活跃，很容 易接受新事物的。一般说来，他们也极少个观和常识出发来判断问题。非欧几何刚 出现时是违背常识的。但是菲利克斯．克莱因和彭加勒分别建立了非欧几何与欧氏 几何之间的等价的逻辑联系，在使非欧几何为数学界接受方面发挥了十分重要的作 用。这些情况很容易使人们联想到，既然这些著名数学家在别的方面并不思想僵化， 而且看问题很深刻，那么他们反对集合论就不可能是没有道理的。在数学界，由于 研究工作基本上依靠理论思维，所以学术带头人的学术倾向往往产生一呼百应的效 果。一批数学界的“巨人”一起站出来攻击康托尔的工作，又带动了很多数学家作 响应，难怪康托尔招架不住，在思想防线上迅速崩溃 。 那么，克隆尼克、彭加勒等人为什么对集合论这样深恶痛绝呢？集合论出现之 后，很快在数学研究中，特别是在解决实数理论逻辑基础问题中发挥了明显作用， 他们为什么视不见泥？这里固然有性情和学术品质方面的因素，但主要的也是思维 方法上的原因。这些人中的绝大多数，持有和克隆尼克一样的观点，认为任何数学 对象必须能用有限步骤从自然数构造出来。而无穷集合不符合这个要求，那就不应 成为数学研究的对象，当然集合论也不是数学。他们头脑中很可能有着捍卫数学理 论严格性和纯洁性的良好愿望。但他们不是把实践作为判断数学对象现实性和数学 理论真理性的标准，却主观武断地为数学研究划出一条人为界限，要把所有不能用 构造方法获得的数学理论，不仅是集合论，还有很大一部分数学分析理论，都统统 排斥在数学领域之外。希尔伯特曾指出，克隆尼克的方案是要把我们的科学肢解， 使它残缺不全。如果我们接受这种“改革办法”，就要失去我们最有价值的宝藏的 大部分。他说：“没有任何人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中清除出去”。 他所说的“乐园”就是指集合论。事实证明希尔伯物是对的。克隆尼克等人并未能 阻止集合论的生长，也未能阻止绝大多数数学家最终把集合论看作现代数学中理所 当然的组成部分。克隆尼克等人在看待数学对象的问题上，无疑犯了先验、片面的 弊病。历史表明，给数学的发展划定先入为主的界限的努力，是决不会成功的。 历史的教训 集合论的创立和康托尔的遭遇，给后人留下的历史教训是很深刻的。它告诫人 们，要坚持和发展科学真理，决不能离开实践。科学理论的对象和内容越是抽象， 就越需要深深扎根在现实土壤之中。如果脱离实践，到唯心主义和宗教那里去寻求 精神支柱，只能误入岐途，给科学新成果的宣传和普及增设障碍。它还告诫人们， 当一种新的科学发现或发明出现的时候，不要凭借直观的、常识或以往的经验来下 判断，更不要给科学成果施加某种主观的、人为的标准。真理的唯一标准只能是人 们的实践。它告诫那些创造科学新成就的人们，要有充分的精神准备听取各种反对 意见，承受可能出现的冷遇、嘲讽和打击，克服前进道路上的各种困难。要充分认 识到，获得科学发现是艰苦的，使科学发现为人们理解同样的艰苦的，两者都要经 历一个奋斗的过程，决不可能一蹴而就。它还告诫那些评价科学新成新的人们，要 冷静、客观、全面地看待每一项科学发现或发明，要善意地对待科学新成果发展过 程中难免的缺点和弱点。科学工作者要注意科学道德修养，避免再出现克隆尼克那 样的事情。像集合论这样的科学成果，在科学发展中应是越来越多的；而像康托尔 这样的悲惨遭遇，则是不应该再出现了。
